Distribución de Poisson

La distribución de Poisson fue propuesta por primera vez por Simeón Poisson en libro publicado en 1837. A medida que pasaron los años, el número de aplicaciones comenzó a aumentar, sobre todo el siglo XX y con la aparición de las computadoras en el siglo XXI permitió incrementarlas aún más. La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta, que describe el número de veces que ocurre un evento durante un intervalo específico; el cual puede ser de tiempo, distancia, área, volumen, entre otros. Por ejemplo, son variables de Poisson: el número de llamadas que recibe una central telefónica en el período de 1 minuto, el número de bacterias en un volumen de 1 litro de agua o el número de fallas en la superficie de una pieza de cerámica rectangular.

Veamos los ejemplos y ejercicios que hemos preparado.


Contenido:

1) Introducción.
2) Experimento de Poisson.
3) Distribución de Poisson.
4) Ejemplos.
5) Guía de ejercicios.
6) Videos.
7) Referencias.

Veamos este tema a detalle con ayuda de ejemplos y ejercicios.


1) Introducción

Como les había contado antes, de profesor de matemáticas me va muy mal, por eso paso la mayor parte de mi día trabajando en una veterinaria. Todos los días llegan muchos pacientes, sobre todo perros y gatos, pero han llegado también algunas tortugas, mapaches, serpientes, tiburones, vacas, dinosaurios y patos. Esperamos cada día la llegada de 4 pacientes, pero algunos días llegan más, otros menos.

¿Será posible calcular la probabilidad de que lleguen 3 pacientes en un día? o ¿5 pacientes en un día?

La respuesta es que sí, gracias a la fórmula de la distribución de Poisson. Eso sí, antes de aplicar la fórmula de la distribución de Poisson, tenemos que verificar que nos encontramos ante un experimento de Poisson. Si no estamos en un experimento de Poisson, no podemos aplicar la fórmula.


2) Experimento de Poisson

En una distribución de Poisson, se cumplen siempre los siguientes supuestos:

i) la variable aleatoria es el número de veces que ocurre un evento durante un intervalo definido. El intervalo puede ser tiempo, distancia, área, volumen o alguna unidad similar.

X = número de veces que ocurre un evento durante un intervalo definido

ii) la probabilidad de ocurrencia es la misma para cualesquiera 2 intervalos de igual longitud.
iii) la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier otro intervalo.
iv) dos eventos no pueden ocurrir exactamente al mismo tiempo. 

Si se cumplen esas condiciones, la variable aleatoria discreta X sigue una distribución de Poisson y podemos aplicar la fórmula de la distribución de Poisson.

Aquí algunos ejemplos típicos de variables aleatorias que siguen una distribución de Poisson:

  • El número de clientes que ingresan a un supermercado en un día.
  • El número de accidentes registrados en una fábrica durante una semana. 
  • El número de llamadas que recibe una central telefónica en el período de un minuto.
  • El número de bacterias en un volumen de un litro de agua.
  • El número de vehículos que llegan a una gasolinera en una hora.
  • El número de fallas en la superficie de una pieza de cerámica rectangular.
  • El número de toxinas en partes por millón encontradas en un litro de agua de un río.

3) Distribución de Poisson

Se dice que una variable aleatoria discreta X tiene una distribución de Poisson con parámetro μ (μ>0) si la función de probabilidad de X es:

\[f(x)=P(X=x)=\frac{e^{-\mu}\cdot\mu^x}{x!}; ~~~~ x=0; 1;2;3;4;…\]

Donde:

  • f(x) = P(X=x) : probabilidad de x ocurrencias en un intervalo.
  • μ: valor esperado o media de X.
  • e: base de los logaritmos naturales. Su valor es 2,71828…

Además, en una distribución de Poisson:

  • La media de X es igual a μ.
  • La varianza de X es igual a μ.

4) Ejemplos

La veterinaria de Jorge recibe un promedio de μ = 4 pacientes por día. Sabiendo que el número de pacientes que llegan en un día sigue una distribución de Poisson, calcular:

a) la probabilidad de que lleguen 3 pacientes en un día.

Primero definimos nuestra variable aleatoria:

X = número de pacientes que llegan en un día.

Además, nos indican que esta variable aleatoria X sigue una distribución de Poisson, entonces podemos aplicar la fórmula:

\[f(x)=P(X=x)=\frac{e^{-\mu}\cdot\mu^x}{x!}\]

Calculamos la probabilidad de que lleguen 3 pacientes en un día, es decir, f(3). Además, el enunciado nos indica que llegan en promedio 4 pacientes por día, es decir, μ = 4.

\[f(3)=P(X=3)=\frac{e^{-4}\cdot4^3}{3!}\\~\\f\left(3\right)=P\left(X=3\right)=\frac{0,01832\cdot64}{3\cdot2\cdot1}\\~\\f(3)=P(X=3)=0,1954\]

La probabilidad de que lleguen 3 pacientes en un día es de 0,1954 o 19,54 %.

b) la probabilidad de que lleguen 5 pacientes en un día.

Calculamos la probabilidad de que lleguen 5 pacientes en un día, es decir, f(5). Además, el enunciado nos indica que el enunciado que llegan en promedio 4 pacientes por día, es decir, μ = 4.

\[f(x)=P(X=x)=\frac{e^{-\mu}\cdot\mu^x}{x!} \\~\\f(5)=P(X=5)=\frac{e^{-4}\cdot4^5}{5!}\\~\\f\left(5\right)=P\left(X=5\right)=\frac{0,01832\cdot1024}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}\\~\\f(5)=P(X=5)=0,1563\]

La probabilidad de que lleguen 5 pacientes en un día es de 0,1563 o 15,63 %.


5) Guía de ejercicios

Desde el botón que viene a continuación, podrás descargar la guía de ejercicios de la distribución de Poisson:

 


6) Videos

Veamos las clases de distribución de Poisson


Referencias

Para elaborar este artículo, hemos empleado las siguientes referencias:

  • Devore, J., 2018. Fundamentos de probabilidad y estadística. 1ra ed. México: Cengage Learning, pp.124-131.
  • Córdova Zamora, M. (2009). Estadística descriptiva e inferencial. 5a ed. Lima: Moshera, pp.268-272.
  • Wiśniewski, P., 2014. Estadística y probabilidad. 1ra. ed. México: Editorial Trillas, pp.141-153.
  • Lind, D., Marchal, W. y Wathen, S., 2015. Estadística aplicada a los negocios y la economía. 10a ed. México: McGraw-Hill, p.173.
  • Newbold, P., Carlson, W. y Thorne, B., 2008. Estadística para administración y economía. 6a ed. Madrid: Pearson Educación, pp.173-178.
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12 comentarios en «Distribución de Poisson»

  1. Buenas tardes Matemovil (ggg aca en Bolivia es tarde)…
    Podria subir el enlace del video de la distribucion Poisson?
    Excelentes videos, saludos.

    Responder
  2. Hola. Primero quiero agradecer el trabajo. Es realmente maravilloso.

    Segundo. Me gustaría preguntar ¿Qué sucede si nos cambian el tamaño del intervalo? Es decir. Si en lugar de pedir la probabilidad de que sea en un dia, nos pidan la probabilidad de que lleguen en dos o en medio dia.

    Responder
  3. El número de enfermos que solicitan atención de urgencia en hospital Regional Victoria
    durante un periodo de 24 horas tiene una media de 43,2 pacientes. Se sabe que el
    servicio se colapsará si el número de enfermos excede de 50. ¿Cuál es la probabilidad de
    que se colapse el servicio de urgencias del hospital?

    me puede ayudar con ese ejercicio no lo he podido entender

    Responder
    • A mi me da esta 3,3%

      u media es : 43,2
      x variable es : 50
      El resultado es : 0,0338525080514193
      El resultado es : 3,38525080514193%
      El factorial de x es : 50 resultado 3,04140932017134E+64
      E exp es : 2,718281828459

      Responder
  4. Me podrian apoyar con esta pregunta
    Un puesto de periódicos solicitado cinco ejemplares de cierta edición de una revista de fotografía. Sea X; número de individuos que entra a comprar esta revista. Si X tiene una distribución de Poisson con parámetro λ=4. ¿Cuál es el número esperado de ejemplares que se venderán?

    Responder
  5. Buenas tardes, porfa me podrian apoyar con esta pregunta de Distribucion poisson, muchas gracias.

    El número de barcos que llegan a un puerto cada semana (siete días) es una variable aleatoria que tiene distribución de Poisson con media igual a 14 barcos.

    a) ¿Cuál es la probabilidad de que en tres días lleguen dos barcos?

    Responder
  6. 3. Supóngase que la probabilidad de que ciertos productos farmacéuticos envasados por una máquina de alta velocidad salgan mal envasados es de 0.016. La distribución de los defectos sigue una distribución de Poisson. Para una muestra de 300 envases, determine la probabilidad de que:

    a) cinco de los envases tenga defectos. (5 puntos)

    b) Ningún envase tenga defectos. (5 puntos)

    Responder
  7. En el siguiente problema, en el cual varía el tiempo que se hace? AYUDA URGENTE POR FAVOR
    1. EN UNA FÁBRICA, EL DEPARTAMENTO DE INSPECCIÓN Y CALIDAD DE UN ARTÍCULO X DETERMINA ALREDEDOR DE 0.3 DETALLES IMPERFECTOS CADA MINUTO EN PROMEDIO. CALCULE LA PROBABILIDAD DE IDENTIFICAR:

    a. Una imperfección en 2.5 minutos

    Responder
  8. HOLA BUENAS NOCHES HAY UN EJERCICIO QUE NO ENTENDIO Y NO SE SI USTED ME PUEDA AYUDAR.
    Uso de una distribución de Poisson para calcular la probabilidad. En los ejercicios 1 a 4 suponga que la distribución de Poisson se aplica; después, proceda a emplear la media dada para calcular la probabilidad indicada.
    1. Si m 5 2, calcule P(3).
    2. Si m 5 0.5, calcule P(2).
    3. Si m 5 100, calcule P(99).
    4. Si m 5 500, calcule P(512).

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