Distribución normal, ejercicios resueltos

La distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, es la distribución de probabilidad individual más importante. La distribución normal nos permite crear modelos de muchísimas variables y fenómenos, como por ejemplo, la estatura de los habitantes de un país, la temperatura ambiental de una ciudad, los errores de medición y muchos otros fenómenos naturales, sociales y hasta psicológicos. Por ello, hoy vamos a revisar sus características y muchísimos problemas resueltos en 3 niveles de dificultad.

Repaso

¿Qué pasaría si se realiza una encuesta en una ciudad a personas adultas consultando su estatura? A partir de los resultados obtenidos, se puede elaborar un histograma que tendría la siguiente forma:

histograma-1

Como vemos, el histograma tiene forma de campana, una característica importante de la distribución normal.

Un parámetro muy importante es la media (µ) y siempre estará al centro de la curva con forma de campana. Por ejemplo, aquí tenemos la gráfica de una distribución normal con media igual a 8.

media-de-la-distribución-normal

Además de la media, existe otro parámetro muy importante, se trata de la desviación estándar, representada con la letra griega σ. La desviación estándar es la medida de variabilidad más utilizada y nos indica que tan dispersos se encuentran los datos. Por ejemplo, aquí veremos dos curvas normales, una con desviación estándar pequeña, y otra con desviación estándar grande. Cuando la desviación estándar es pequeña, los datos tienen una dispersión baja y se agrupan alrededor de la media. En cambio, cuando la desviación estándar es alta, los datos tienen una dispersión alta y se alejan de la media.

desviación-estándar-en-la-distribución-normal

Características de la distribución normal

Existe una función matemática con forma de campana que tiene la siguiente definición:

fórmula-distribución-normal

Si se grafica esta función, se obtiene como resultado la curva normal:

distribución-normal-características

Además, tiene las siguientes características:

  • Toma en cuenta la media(µ) y la desviación estándar(σ).  
  • El área bajo la curva es igual a 1.
  • Es simétrica respecto al centro, o a la media.
  • 50% de los valores son mayores que la media, y 50% de los valores son menores que la media.
  • La media es igual a la mediana y a la moda.
  • Tiene una asíntota en y = 0 (eje x).

Algunos otros ejemplos de variables con distribución normal:

  • Notas en un examen.
  • Errores de medida.
  • Presión sanguínea.
  • Tamaño de las piezas producidas por una máquina.

Para encontrar las probabilidades o cantidad de datos entre determinados valores de la variable, se calcula el área bajo la curva normal, que se encuentra en la tabla z o tabla de áreas bajo la curva normal estandarizada.

La distribución normal estándar

La distribución normal estándar, es aquella distribución normal que tiene una media igual a cero, y una desviación estándar igual a uno. Veamos la función densidad normal estandarizada, que trabaja con la variable estandarizada z en el eje horizontal:

distribución-normal-estándar

Por ejemplo, si se desea encontrar la probabilidad de que la variable estandarizada z, tome un valor entre 0 y 1,50; hay que encontrar el área bajo la curva entre z = 0  y  z = 1,50.

distribución-normal-estándar-ejemplo1

Para calcular el valor de esta área, se utiliza la tabla z y se busca el valor de 1,50:

como-usar-la-tabla-z-áreas-bajo-la-curva-normal

Como vemos, el valor del área bajo la curva es de 0,4332, y esa sería la probabilidad de que la variable estandarizada z, tome un valor comprendido entre 0 y 1,50.

¿Y si mi distribución normal no es estandarizada?

En la mayoría de problemas, cuando se analizan diferentes variables x, la distribución normal no tiene la forma estandarizada, es decir, la media no es cero y la desviación estándar no es uno. En esos casos, se convierten los valores de la variable (x) a z, es decir, se estandarizan los valores de la variable (x).

La fórmula de la variable estandarizada «z», la cual indica cuántas desviaciones estándar se aleja el valor x de la media, es la siguiente:

fórmula-variabla-estandarizada-z

Y luego, con los valores de z, se utiliza la tabla y se calculan las áreas bajo la curva, porcentajes o probabilidades. En los videos que vienen líneas abajo, encontrarás muchos ejemplos.

Por ejemplo, si tenemos una variable aleatoria continua X con una distribución normal no estandarizada, con media igual a 10 y desviación estándar igual a 1, y el problema pide calcular la probabilidad de que la variable X tome un valor entre 10 y 11,50, hay que estandarizar los valores de la variable X aplicando la fórmula de z:

Ahora, veamos la gráfica de esta distribución normal:

estandarización-de-la-distribución-normal2

Y usando la tabla z, se calcula el área bajo la curva. Cuando z es igual a 1,50, el área bajo la curva es de 0,4332.

como-usar-la-tabla-z-áreas-bajo-la-curva-normal

Podemos concluir que la probabilidad de que la variable estandarizada z, tome un valor comprendido entre 10 y 11,50 es de 0,4332.

Descarga la tabla z

Desde el siguiente enlace podrás acceder a la tabla de áreas bajo la curva normal. Recuerda imprimirla y llevarla a tu examen.

Tabla z distribución normal estandarizada – MateMovil

Descarga la guía de ejercicios

Además, hemos preparado una guía con varios ejercicios propuestos de distribución normal.

Distribución Normal Ejercicios Propuestos PDF

Nivel 1

En el primer nivel, vamos a revisar las características de la distribución normal y luego resolveremos algunos problemas interesantes con ayuda de la tabla z:

Nivel 2

En este nivel, vamos a resolver varios problemas de nivel intermedio. Además, veremos como resolver problemas de distribución normal al instante usando un simulador o una calculadora.

Nivel 3

Viene ahora el nivel 3, en el que vamos a combinar ejercicios de distribución normal con otros temas matemáticos:

Reto

Antes de ir a tu examen, puedes practicar con estos ejercicios. Encontrarás la solución líneas abajo:

6. Los sueldos mensuales en una empresa siguen una distribución normal con media de 1200 soles, y desviación estándar de 200 soles. ¿Qué porcentaje de trabajadores ganan entre 1000 y 1550 soles?

7. Una fábrica de producción de agua embotellada, cuenta con una máquina de envasado automático, la cual vierte en cada botella una cierta cantidad de agua que sigue una distribución normal con media de 500 mililitros y una varianza de 25 mililitros. ¿Qué porcentaje de las botellas se llenan con agua entre 490 y 507 mililitros?

Solución

Descarga la solución de ambos problemas desde aquí:

Distribución Normal Ejercicios Resueltos PDF

¿Quieres aprender un poco más?

Te dejo por aquí un artículo de distribución normal que está muy interesante.

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35 comentarios en «Distribución normal, ejercicios resueltos»

      • . Una clínica realiza un análisis de colesterol en
        hombres mayores de 50 años, y luego de varios
        años de investigación, concluye que la
        distribución de lecturas del colesterol sigue una
        distribución normal, con media de 210 mg/dl y
        una desviación estándar de 15 mg/dl.
        a) ¿Qué porcentaje de esta población tiene
        lecturas mayores a 250 mg/dl de colesterol?
        Rpta: 0,38%
        b) ¿Qué porcentaje tiene lecturas inferiores a
        190,05 mg/dl?
        Rpta: 9,18%
        porfqor nesesito ayuda con esto

        Responder
  1. Hola Jorge. Me parece excelente tu forma de explicar. Es muy amena, familiar y convincente. Estoy gusto y atento de seguir clases, dado que en ellass encuentro cosas nuevas cada dia. Sigue adel;ante y un fuerte abrazo. Exitos.

    Responder
  2. Una clínica realiza un análisis de colesterol en
    hombres mayores de 50 años, y luego de varios
    años de investigación, concluye que la
    distribución de lecturas del colesterol sigue una
    distribución normal, con media de 210 mg/dl y
    una desviación estándar de 15 mg/dl.
    a) ¿Qué porcentaje de esta población tiene
    lecturas mayores a 250 mg/dl de colesterol?

    b) ¿Qué porcentaje tiene lecturas inferiores a
    190,05 mg/dl?

    Responder
  3. 1. Una profesora de matemática ha comprobado que la duración de solución a sus problemas planteados durante un examen tiene una distribución aproximadamente normal normal con media de treinta minutos y desviación típica de cinco minutos. Se elige al un estudiante del curso
    a) Calcular la probabilidad de que estudiante realice el examen exactamente en 40 minutos?
    b) Calcular la probabilidad de que el estudiante resuelva el examen entre 30 y 40 minutos

    2. El Honorable Consejo Facultativo de la Facultad de Medicina a resuelto admitir sólo el 10% de los postulantes a la carrera de Medicina, Si en anteriores años la cantidad de aprobados en primera instancia era 55 con una desviación típica de 10 puntos sobre 100,
    a) calcular la nota mínima de aprobación
    b) Si postularon una cantidad de 1000 bachilleres cuántos postulantes lograron ingresar.

    3. Sea X una variable aleatoria con f.d.p. siguiente:
    f(x) = 2(1- x) para 0< x < 1
    = 0 en otro lugar

    a) Hallar la función de distribución F(x)
    b) Hallar la probabilidad P( 0,25 < x< 0,75)

    4. Supóngase que 300 erratas están distribuidas al azar a lo largo de un libro de 500 páginas. Hallar la probabilidad de que una página dada contenga:
    a) 2 erratas exactamente
    b) 2 o más erratas.

    Podrian ayudarme por favor

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  4. Hola profe, una consulta: le molestaria que use alguno de sus ejercicios para mis proximas clases, ya que estuve con prolemas de salud no he podido preparar, y los suyos son tan claros y bien explicados.
    Gracias Gustavo – Uruguay

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  5. Hola,

    Tengo una duda en el ejercicio 8 apartado dos el resultado que me da a mi es 19.9, que es el resultado de hallar la Z=0.76 y al aplicar la fórmula es 0.76 * 2,5 + 18 = 19.9……No entiendo cuál es el paso que me estoy dejando porque vuestro resultado es 16.1.

    Me lo podéis explicar’ Gracias

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  6. 1. La empresa el Pato, S.A., reporta que el número de días entre la facturación y el pago de las cuentas a crédito tiene una distribución normal N(15;3). ¿Qué porcentaje de las facturas será pagado
    a) entre 10 y 16 días?
    b) entre 17 y 20 días?
    c) en menos de 12 días?
    d) en más de ocho días?

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  7. Hola buenas, porque en la respuesta del ejercicio 7, usa en la tipificación una desviación típica de 5 y no de 25? Que es lo que pone en el enunciado.

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  8. Primero que nada, muchas gracias, por fin le estoy entiendo a la distribución. Pero tengo una duda, en el ejercicio 7 de la fabrica de producción de agua. Porqué cambia el 25 a 5? Cómo se hace?

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