Función de probabilidad de una variable aleatoria continua

Veamos la función de probabilidad de una variable aleatoria continua con ejemplos y ejercicios resueltos.

La función de probabilidad de una variable aleatoria continua es una fórmula que proporciona la probabilidad de que una variable aleatoria continua tenga un valor que esté dentro de un intervalo específico. Como todavía no se entiende mucho, veamos los detalles y los ejercicios resueltos.

Antes de ver la función de probabilidad, recordemos la variable aleatoria continua.

Variable aleatoria continua

Una variable aleatoria continua, es aquella que puede asumir un número incontable de valores. Por ejemplo, si realizamos el experimento de ir a una granja y estudiamos las características de las vaquitas, podemos definir la variable aleatoria C = peso de las vacas (en kilogramos).

Alguna vaquita puede pesar 425,1872 kg; otra puede pesar 612,5874541 kg; otra puede pesar 545,897512121 kg. Si tomamos más vacas, podríamos tener más valores y nunca terminaríamos. Se conoce que el becerro más pequeño tiene un peso de 30 kg, y la vaca más grande tiene un peso de 1000 kg.

variable aleatoria continua ejemplo

Y así, tendríamos un número incontable de valores para el rango de esta variable. El rango de esta variable puede ser cualquier valor dentro del intervalo que va desde 30 kg hasta 1000 kg, por ello, es una variable aleatoria continua. 

Función de probabilidad de una variable aleatoria continua

La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta es una fórmula que proporciona la probabilidad de que una variable aleatoria continua tenga un valor que esté dentro de un intervalo específico. Esta función de probabilidad también recibe el nombre de función de densidad de probabilidad.

La función de probabilidad de una variable aleatoria continua siempre cumplirá con estas condiciones:

condiciones variable aleatoria continua función de probabilidad

La probabilidad de que la variable aleatoria tenga un valor que esté dentro de un intervalo específico se calcula mediante el área bajo la curva entre uno y otro límite del intervalo. 

Por ejemplo, aquí tenemos la gráfica de una función de probabilidad f(x).

función de probabilidad densidad variable aleatoria continua

Si queremos calcular la probabilidad de que la variable aleatoria continua X tenga un valor comprendido en el intervalo que va desde «a» hasta «b», tenemos que calcular el área bajo la curva, la cual hemos sombreado de color verde. 

función de probabilidad densidad variable aleatoria continua

¿Y cómo se calcula el área bajo la curva? Mediante una integral definida. Por eso, en nuestro ejemplo si queremos calcular la probabilidad de que la variable aleatoria continua tenga un valor que esté dentro de un intervalo específico (desde «a» hasta «b») estará dada por la integral definida de la función de probabilidad de esta variable entre uno y otro límite del intervalo (desde «a» hasta «b»). En pocas palabras:

función de probabilidad densidad variable aleatoria continua

No te asustes con las integrales, dado que estamos en el curso de estadística, las integrales no serán difíciles, y en muchos de los casos podemos usar la calculadora para encontrar el valor de estas integrales.

función de probabilidad densidad variable aleatoria continua

Ejercicio 1

A partir de la función de densidad de probabilidad f(x), encontrar la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor comprendido desde 1 hasta 3.

Solución:

En este problema, nos piden calcular la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor comprendido desde 1 hasta 3, es decir, P(1 ≤ x ≤ 3). Y con la función de probabilidad de una variable aleatoria continua, las probabilidades se calculan mediante el área bajo la curva, por ello:

Graficamos la función f(x) para que se vea mucho mejor:

Como queremos calcular la probabilidad de que nuestra variable aleatoria discreta x tome un valor entre 1 y 3, entonces sombreamos el área bajo la función f en ese intervalo:

Solo nos queda calcular el valor del área sombreada y en este caso se puede realizar de 2 formas diferentes: mediante la fórmula del rectángulo y mediante la integral definida de f(x) desde x igual a 1 hasta 3.

Con áreas:

Con integrales:

Como verás, obtuvimos el mismo resultado, una probabilidad de 0,5 o 50%.

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