Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta

Veamos la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta con ejemplos y ejercicios resueltos.

Una función de probabilidad es una función que asigna probabilidades a los valores de las variables aleatorias. Como suena complicado, mejor lo aprendemos con algunos ejemplos.

Vamos a realizar un experimento muy sencillo que consiste en lanzar un dado. Los resultados que podemos obtener los colocamos de forma gráfica:

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta

Definimos la variable aleatoria discreta X:

  • X = resultado de lanzar un dado.

Ahora colocamos en una tablita todos los valores posibles del rango de esta variable aleatoria discreta X:

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta

Vamos a asociar cada valor con una probabilidad. En un dado, las probabilidades son bastante sencillas de calcular usando la fórmula de probabilidad:

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta

Ahora colocamos las probabilidades en la tablita:

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta

Y listo, ya tenemos la función de probabilidad de la variable aleatoria X representada en forma de tabla.

Además, una función de probabilidad también se puede representar de manera gráfica mediante un diagrama de barras. En el eje horizontal se colocan los valores de la variable aleatoria y en el eje vertical las probabilidades. En el caso de nuestra función de probabilidad, la gráfica de barras sería la siguiente:

gráfica de una función de probabilidad

Una función de probabilidad de una variable aleatoria discreta se puede expresar de manera fácil como una tabla o lista que empareja los valores de la variable con sus probabilidades o también mediante una gráfica de barras. Sin embargo, una función de probabilidad de expresa con mayor frecuencia mediante una fórmula.

Por ejemplo, a partir de la tabla de probabilidades de la variable aleatoria X, vamos a encontrar la ecuación de la función de probabilidad de la variable aleatoria X en forma de ecuación:

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta

Como todas las probabilidades son iguales a 1/6, entonces la ecuación de la función de probabilidad de X sería la siguiente:

Y así ya tenemos nuestra función de probabilidad expresada mediante fórmula. Recordemos un poco de teoría:

Una función de probabilidad es una función que asigna probabilidades a los valores de las variables aleatorias.

Además, la función de probabilidad tiene que cumplir con 2 propiedades:

1) La probabilidad de cada valor de la variable aleatoria debe estar entre 0 y 1.

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta

2) La suma de las probabilidades asignadas a todos los valores de la variable aleatoria debe ser 1.

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta

Estas propiedades seguro te sonarán conocidas, ya que son propiedades que hemos estudiado antes en el capítulo de probabilidades.

Es importante indicar que la función de probabilidad en una variable aleatoria discreta también es llamada función de masa de probabilidad o distribución de probabilidad. En algunos libros indican que la distribución y la función son cosas diferentes, pero la mayoría de autores modernos no realizan distinción entre estos 2 conceptos en el caso de variables aleatorias discretas.

Ejercicio 1:

Determina si la siguiente función es una función de probabilidad. Si lo es, encuentra la función de probabilidad en forma de tabla y el diagrama de barras de la función.

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta

Solución:

Para que f(x) sea una función de probabilidad, se tienen que cumplir las 2 propiedades que mencionamos líneas arriba, vamos a comprobarlo.

Empezamos colocando una tabla con los valores de x:

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta

A continuación, calculamos los valores de f(x), teniendo en cuenta la fórmula del enunciado:

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta

1) Los valores de la función de probabilidad se encuentran entre 0 y 1.

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta

Se cumple la primera propiedad, pues todos los valores de f(x) se encuentran entre 0 y 1.

2) La sumatoria de los valores de f(x) tiene que ser 1:

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta

Veamos si se cumple realizando la sumatoria:

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta

Se cumple la segunda propiedad, ya que la sumatoria de los valores de f(x) es 1.

Como se cumplen las 2 propiedades, entonces podemos concluir que f(x) es una función de probabilidad.

Ahora vamos a encontrar la función f(x) en forma de tabla, partiendo de la tabla que realizamos líneas arriba y simplificando las fracciones:

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta

A continuación, colocamos la misma tabla pero ya ordenada y pasaremos las fracciones a decimales :

función de probabilidad variable aleatoria discreta

Y terminamos con el diagrama de barras de la función:

gráfica de función de probabilidad

Fuentes:

  • Johnson, R., & Kuby, P. (2012c). Estadística elemental (11a. ed.). Ciudad de México, México: Cengage Learning, pp. 233.

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