Límites infinitos, ejercicios resueltos

Los límites infinitos son aquellos en los que las imágenes f(x) aumentan o disminuyen sin límite cuando x se aproxima a un valor a. Existen varios casos de límites infinitos, veamos algunos ejemplos, ejercicios resueltos y aplicaciones.

De forma general, los representamos como:

Ejemplo de límite infinito

Indicar si existe el siguiente límite:

Si graficamos la función:

Y si realizamos una tabla de valores:

Para que el límite exista, las imágenes deben acercarse a un valor real cuando las x se acercan a cero. Sin embargo, en este problema, las imágenes no se acercan a ningún valor real. A partir de la gráfica, podemos ver que cuando los valores de x se acercan a cero, las imágenes crecen sin límite, por lo tanto, el límite no existe:

¿Y ahora qué hacemos?

Si bien el límite no existe, podemos usar la notación de límites para expresar el comportamiento de la función: las imágenes tienden a infinito (crecen sin límite) , cuando x tiende a cero.

Eso no quiere decir que el límite exista. Es más, ese infinito es la razón de inexistencia del límite, pues el infinito no es un número real, y para que el límite exista, las imágenes f(x) deben acercarse a un número real.

Otro ejemplo

Tomando en cuenta la gráfica, determinar los siguientes límites laterales:

De la gráfica, podemos apreciar que:

Todos los casos de límites infinitos

Dado que los límites infinitos también aparecen en los límites laterales, tenemos varios casos de límites infinitos:

Asíntotas verticales

En todos los casos de límites infinitos, aparece siempre una asíntota vertical en x = a. No lo olvides, siempre que aparece un límite infinito, aparece una asíntota vertical. Ejemplo:

Guía de ejercicios

Desde el siguiente enlace, podrás descargar la guía de ejercicios. Resolveremos algunos problemas en los videos.

Límites infinitos ejercicios propuestos PDF

Videos

A continuación, vienen dos videos de límites infinitos. En el primero veremos un repaso de la teoría y algunos ejercicios. En el segundo viene un problema de aplicación.

Ahora vamos a revisar un problema de aplicación de los límites infinitos en la teoría de la relatividad especial de Albert Einstein. Este problema parece muy complicado, ¿lo será?

Si deseas acceder a la gráfica del problema en GeoGebra, puedes hacerlo desde aquí:

Reto

Y para terminar, viene un pequeño reto. La solución va líneas abajo.

Solución:

Usaremos el método de tabla de valores.

Podemos ver que cuando nos acercamos a -1 por la izquierda, los valores de las imágenes f(x) decrecen sin límite. Mientras que si nos acercamos  a -1 por la derecha, los valores de las imágenes f(x) crecen sin límite. Por lo tanto:

c) Además, dado que aparece un límite infinito, hay una asíntota vertical en x = -1.

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4 comentarios en «Límites infinitos, ejercicios resueltos»

  1. Me sirvió mucho el contenido en esta página, gracias
    Pero ahora tengo una duda existencial… ¿el resultado de un límite infinito es siempre infinito?
    Desde ya muchas gracias 🙂

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