Probabilidad condicional, ejercicios resueltos

Veamos los problemas propuestos y ejercicios resueltos de probabilidad condicional.

Si tenemos dos eventos, A y B, la probabilidad condicional de que ocurra el evento A, dado que ha ocurrido el evento B, se representa como P(A|B), y se calcula de la siguiente manera:

Fórmula:

\(P(A|B)=\frac { P(A∩B) }{ P(B) }\)

En un diagrama de Venn, veríamos los eventos A y B de la siguiente manera:

probabilidad-condicional-diagrama-de-venn-1

La condición, es que se ha realizado en el evento B, por lo tanto, nuestro diagrama de Venn quedaría reducido a:

Por ello, podemos ver que el universo está representado por la probabilidad de B, y dentro de ese universo, la probabilidad de que ocurra A, está representada por la probabilidad de A ∩ B.

\(P(A|B)=\frac { P(A∩B) }{ P(B) }\)

En algunos problemas, puede que sea necesario calcular la probabilidad de que ocurra el evento B, dado que ha ocurrido A. En ese caso, simplemente invertimos el orden de las variables:

\(P(B|A)=\frac { P(B∩A) }{ P(A) }\)

Ejemplo 1:

Si P(A) = 0,6 ; P(B) = 0,4 y P(A∩B)=0,18. Calcular:

a) P(A|B)
b) P(B|A)

Solución:
En este problema, simplemente vamos a reemplazar los datos en la fórmula.

a) Usamos la fórmula de probabilidad condicional:

\(P(A|B)=\frac { P(A∩B) }{ P(B) }\)

\( P(A|B)=\frac { 0,18 }{ 0,4 } = 0,45 \) \( =45\%\)

b) Usamos la fórmula de fórmula de probabilidad condicional, teniendo en cuenta que vamos a calcular la probabilidad de que ocurra B, dado que ha ocurrido A.

\(P(B|A)=\frac { P(B∩A) }{ P(A) }\)

\( P(B|A)=\frac { 0,18 }{ 0,6 } =0,3=30\%\)

Ejemplo 2:

Al 25% de tus amigos le gusta la fresa y el chocolate, mientras que al 60% le gusta el chocolate. ¿Cuál es la probabilidad de que a un amigo que le gusta el chocolate, le guste la fresa?

Solución:
Vamos a trabajar con 2 eventos: que a un amigo le guste la fresa, y que a un amigo le guste el chocolate.

  • Evento A: que a un amigo le gusten los fresa. \( P(A) = ?.\)
  • Evento B: que a un amigo le guste el chocolate. \( P(B) = 60\%.\)
  • Evento A y B: que a un amigo le guste la fresa y el chocolate.  \( P(A∩B) = 25\%.\)

Ahora calculamos la probabilidad de que a un amigo le guste la fresa, dado que le gusta el chocolate.

\( P(A|B)=\frac { P(A\cap B) }{ P(B) } \)

\( P(A|B)=\frac { 25% }{ 60% } =0,4167=41,67\% \)

La probabilidad de que a un amigo le guste la fresa dado que le gusta el chocolate es del 41,67%.

Ejemplo 3:

El 76% de los estudiantes de Ingeniería Civil han aprobado resistencia de materiales y el 45% aprobaron estática. Además, el 30% aprobaron resistencia de materiales y estática. Si Camilo aprobó resistencia de materiales, ¿qué probabilidad tiene de haber aprobado también estática?

Solución:
Vamos a trabajar con 2 eventos: aprobar resistencia de materiales, y aprobar estática.

  • Evento A: aprobar resistencia de materiales. \( P(A) = 76\%.\)
  • Evento B: aprobar estática. \( P(B) = 45\%.\)
  • Evento A y B: aprobar resistencia de materiales y estática.  \( P(A∩B) = 30\%.\)

Ahora calculamos la probabilidad de aprobar estática, dado que se aprobó resistencia de materiales.

\( P(A|B)=\frac { P(A\cap B) }{ P(B) } \)

\( P(A|B)=\frac { 30% }{ 76% } =0,3947=39,47\% \)

Para Camilo, la probabilidad de aprobar estática, dado que aprobó resistencia de materiales es de 39,47%.

Guía de ejercicios

En la siguiente guía encontrarás muchísimos problemas de probabilidades, algunos los de probabilidad condicional en el video.

Probabilidades, ejercicios propuestos PDF

Video

Viene ahora el video que hemos preparado con muchos problemas de probabilidad condicional.

Reto

Antes de ir a tu examen, intenta realizar el siguiente reto:

reto-probabilidad-condicional

Solución:

\(P(M|D)=\frac { P(M∩D) }{ P(D) } \)

\(P(M|D)=\frac { \frac { 85 }{ 1000 } }{ \frac { 177 }{ 1000 } } =\frac { 0,085 }{ 0,177 } =0,4802=48,02\%\)

Hasta aquí llegamos por hoy, recuerda que tenemos muchos otros videos en el curso de estadística.

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