Radicación, ejercicios resueltos

Hoy estudiaremos la radicación y las leyes de los radicales, también resolveremos algunos ejercicios.

Contenido

1) Radicación.
2) Leyes de los radicales.
3) Guía de ejercicios y teoría en PDF.
4) Videos.
5) Referencias.

Empezamos con la definición de radicación.

1) Radicación

La radicación consiste en encontrar un número llamado raíz, de manera que al elevarlo al índice del radical obtengamos la cantidad subradical.

Su representación matemática es:

radicación ejercicios resueltos

2) Leyes de los radicales

Son las siguientes:

2.1) Radicales sucesivos

\[\sqrt[m]{a\sqrt[n]{b\sqrt[p]{c}}}=\sqrt[m]{a}\cdot\sqrt[mn]{b}\cdot\sqrt[mnp]{c}\\~\\ \mathrm{Para\ }m,n\ y\ p\in\mathbb{N};a\geq0,\ b\geq0\ \mathrm{y}\ c\geq0\ \]

Ejemplos:

\[\sqrt[3]{8\sqrt{729}} = \sqrt[3]{8}\ \cdot\sqrt[3\cdot2]{729} = \sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[6]{729} = 2\cdot3 = 6\\~\\
\sqrt{x\sqrt[3]{y\sqrt[4]{z}}} = \sqrt x\ \sqrt[6]{y}\ \sqrt[24]{z}\]

2.2) Raíz de raíz

\[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \\~\\Para\ \ m\ \land\ n\in\mathbb{N};\ a\geq0\
\]

Ejemplos:
\[\sqrt[3]{\sqrt[4]{4096}}=\sqrt[12]{4096}=2\\~\\\sqrt[7]{\sqrt[6]{x}}=\sqrt[42]{x}\]


2.3) Índices iguales

\[\sqrt[n]{a}\ \cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\\~\\
\mathrm{Para}\ n\in\mathbb{N};\ a\geq0\ \land\ b\geq0\\~\\
\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\\~\\
\mathrm{Para}\ n\in\mathbb{N};\ a\geq0\ \land\ b>0
\]

Ejemplos:

\[\sqrt[6]{x\ }\cdot\sqrt[3]{\sqrt y} = \sqrt[6]{x\ }\cdot\sqrt[3\ .\ 2]{y} = \sqrt[6]{x\ }\cdot\sqrt[6]{y} = \sqrt[6]{xy}\\~\\
\frac{\sqrt[3]{\sqrt{4096}}}{\sqrt[6]{64}} = \frac{\sqrt[6]{4096}}{\sqrt[6]{64}} = \sqrt[6]{\frac{4096}{64}} = \sqrt[6]{64}=2
\]

2.4) Exponente fraccionario

\[a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}={\sqrt[n]{a}}^m\\~\\\mathrm{Para}\ m,\ n\in\mathbb{N}\ \land\ n>1\]

Ejemplos:

\[\sqrt[5]{a^4} = a^\frac{4}{5}\\~\\
{729}^\frac{2}{3} = {\sqrt[3]{729}}^2 = 9^2 = 81\]

2.5) Propiedades adicionales

\[\sqrt[m]{x^a\cdot\sqrt[n]{x^b\cdot\sqrt[p]{x^c}}} = x^\frac{\left(an+b\right)p+c}{mnp}\\~\\ \sqrt[m]{x^a\div\ \sqrt[n]{x^b\div\sqrt[p]{x^c}}} = x^\frac{\left(an-b\right)p-c}{mnp}\]

Ejemplos:

\[\sqrt[m]{x^a\cdot\sqrt[n]{x^b\cdot\sqrt[p]{x^c}}} = x^\frac{\left(an+b\right)p+c}{mnp}\\~\\
\sqrt[3]{a^2\div\ \sqrt[4]{a^5\div\sqrt[5]{a^3}}} = a^\frac{\left(2\cdot4-5\right)5-3}{3\cdot4\cdot5} = a^\frac{12}{60}=a^\frac{1}{5} = \sqrt[5]{a}\]

2.6) Representación infinita

\[\sqrt[n]{x\cdot\sqrt[n]{x\cdot\sqrt[n]{x\ldots\ }}} = \sqrt[n-1]{x}\\~\\ \sqrt[n]{x\div\ \sqrt[n]{x\div\sqrt[n]{x\ldots}}} = \sqrt[n+1]{x}\]

Ejemplos:

\[\sqrt[5]{81\cdot\sqrt[5]{81\cdot\sqrt[5]{81\ldots\ }}} = \sqrt[5-1]{81}=\sqrt[4]{81} = 3\\~\\
\sqrt[6]{y\div\ \sqrt[6]{y\div\sqrt[6]{y\ldots}}} = \sqrt[6+1]{y} = \sqrt[7]{y}\]

2.7) Representación finita

 

Ejemplo 1:

Simplifique la siguiente expresión, sabiendo que tiene 5 radicales \[\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{\ \ldots\sqrt[3]{x}}}}\] 

Solución:

\[\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{\ \ldots\sqrt[3]{x}}}}=\left[\sqrt[3^5]{x}\right]^\frac{3^5-1}{3-1} = \left[\sqrt[3^5]{x}\right]^\frac{242}{2} = \left[\sqrt[3^5]{x}\right]^{121} = \left[\sqrt[243]{x}\right]^{121} = \ x^\frac{121}{243}\]

Ejemplo 2:

Simplifique la siguiente expresión, sabiendo que tiene 7 radicales \[\sqrt[4]{2^\frac{4^7\cdot\ 5}{5461}\div\sqrt[4]{2^\frac{4^7\cdot\ 5}{5461}\div\sqrt[4]{2^\frac{4^7\cdot\ 5}{5461}\div\ldots\div\sqrt[4]{2^\frac{4^7\cdot\ 5}{5461}}}}}\] 

Solución:

\[ \sqrt[4]{2^\frac{4^7\cdot\ 5}{5461}\div\sqrt[4]{2^\frac{4^7\cdot\ 5}{5461}\div\ldots\div\sqrt[4]{2^\frac{4^7\cdot\ 5}{5461}}}}=\left[\sqrt[4^7]{2^\frac{4^7\cdot\ 5}{5461}}\right]^\frac{4^7-1}{4+1}
=\left[\sqrt[4^7]{2^\frac{4^7\cdot\ 5}{5461}}\right]^\frac{16383}{5}
=2^{\frac{4^7\cdot\ 5}{5461}\cdot\frac{1}{4^7}\cdot\frac{16383}{5}}
=2^3
=8
\]

3) Guía de ejercicios

A continuación encontrarás la teoría de este capítulo.

Y por aquí los ejercicios de radicación. Los ejercicios no tienen claves, así que vamos a resolver algunos de ellos en los videos:


4) Videos

Transformar Radicales Dobles a Simples

Antes de empezar con los niveles, revisamos como transformar radicales dobles a simples, y también el paso contrario, como transformar radicales simples a dobles en este video, para hacer la explicación mas sencilla, lo hacemos con algunos ejercicios resueltos.

Racionalización

Otro de los temas importantes de este capítulo es la racionalización, así que hemos preparado un video en el que te contamos los casos de racionalización más comunes, los que siempre vienen en el examen.

Nivel  1

En el primer nivel revisamos 2 ejercicios resueltos, en el primero tendremos que transformar a radicales simples, y en el segundo problema, vamos a  revisar el tema de radicales homogéneos.

Nivel 2

En el segundo nivel, revisamos 2 ejercicios resueltos adicionales, el primero será de transformación de radicales dobles a radicales simples(mucho más complejo que el del primer nivel); y el segundo ejercicio empezamos con el tema de racionalización.

Nivel 3

En el tercer nivel, revisamos 2 ejercicios bastante complejos, ambos ejercicios son complicados, y abarcan el tema de racionalización.

Nivel 3B

Viene ahora un problema muy interesante, que encontramos en un examen de admisión, e involucra varios trucos de radicación y radicales dobles.

Nivel Preuniversitario 1

Viene ahora un problema que se tomó en un examen de admisión en ESAN, es sobre radicación, y está muy bueno:


5) Referencias: 

  • “Álgebra intermedia”, Allen R. Angel, 7ma edición, editorial Pearson Educación, México, 2008.
  • “Álgebra”, Colegio nacional de matemáticas, 1era edición, editorial Pearson Educación, México, 2009.
  • Álgebra 5, texto escolar, Intelectum.
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43 comentarios en «Radicación, ejercicios resueltos»

  1. como se resolvería este ejercicio 3 por raiz cuadrada de 2 menos 2 por raiz cuadrada de 3 entre a por raiz cuadrada de b mas b por raiz cuadrada de a.

    te agradecería mucho si me respondes 😀

    Responder
  2. me piden reducir la expresion: raiz 33 de 3 por raiz 3 de 33 por raiz3 de 3 por raiz 33 de 33 sobre (raiz 11 de 33)al cuadrado por raiz 33 de 81 por ( raiz 33 de 9) a la cuarta.

    Responder
  3. En el tercer nivel de radicación, al buscar el factor que hacía falta, se hace un paso que me dejó demasiado confundido y por más que intento razonar el porqué se hizo ese paso, no logro entender como es que «x» pasa a multiplicar siendo «el denominador de un exponente» sin (signo de) igualdad. Está en el min. 1:55-2:12.
    Alguien podría explicarlo?

    Responder
  4. Hola! , estoy viendo el tema de racionalización , al ver tus vídeos me parece que he entendido así que quisiera confirmar las respuestas a unos ejercicios que tengo en el cuaderno
    el primero dice así : 1/ (la quinta raíz de 8) , el resultado que obtuve fue : (la quinta raíz de 4) /( 2)
    el segundo dice : 3 /(raíz cuadrada de 5)-(raiz cuadrada de 2) , el resultado que obtuve fue : la raíz cuadrada de 5 + la raíz cuadrada de 2
    y el ultimo dice : 1/raíz cuadrada de 5 -raíz cuadrada de 2 – raíz cuadrada de 3 , el resultado que obtuve fue : – (raíz cuadrada de 3-raíz cuadrada de 2+raíz cuadrada de 5) / 6

    Espero que me entiendas u.u !!Gracias!!

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  5. Tenia una consulta en ningun video vi este tipo de problemas:

    12 + 4. raiz de 3 + 4 raiz de 5 + 2 raiz de 15, TODO a una raiz = raiz de A +raiz de B + raiz de C

    Responder
    • El quince lo partes en factores como 3×5 ambos dentro de la raiz cuadrada, y luego lo separas en dos raices la raiz de 3 por la raiz de 5, y como están divididos entre la raiz de 3 se eliminan ambas raices de 3 y solo te queda la raíz de 5, suerte.

      Responder
  6. por favor como transformar en un solo radical doble lo siguiente

    raiz cuadrada de 11 más (dentro de esa misma raiz) raiz cuadrada de 112 y todo eso menos raiz cuadrada de 6 menos (dentro de esa misma raiz) raiz cuadrada de 32

    muchas gracias

    Responder
    • yo en una carrera universitaria, 8 semestre estudio fisica quimica y artes plasticas, ademas de eso estudio musica, mañana tengo un parcial y nomas dan 5 minutos para resolverlo. en quimica y fisica dan muchas cosas mas dificiles y avanzadas que algebra… ah y porcierto 2 cosas mas: algebra se escribe con g y solo una a. y tengo 11 años 😀 gracias

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  7. hola me puedes ayudar con este ejercicio de radicación:
    2√28 – √175 + √63 – √7
    alternativas:
    a) √7
    b) – √7
    c) 2 √7
    d) 3 √7
    e) N.A

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  8. en el ejemplo2 de radicales finitas, veo que hay una formula diferente cuando m es impar y cuando m es par, y ya en el ejercicio propuesto en donde el numero de radicales es 7 lo que observo es que estas aplicando la formula donde m es par ¿Porqué?

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  9. Buen día profesor, en la segunda fórmula de propiedades adicionales está (an−b)p−c, cuando debería ser (an−b)p+c una suma en lugar de una resta y por lo tanto el segundo ejemplo de propiedades adicionales también hay un error.

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