Hoy estudiaremos la radicación y las leyes de los radicales, también resolveremos algunos ejercicios.
Contenido
1) Radicación.
2) Leyes de los radicales.
3) Guía de ejercicios y teoría en PDF.
4) Videos.
5) Referencias.
Empezamos con la definición de radicación.
1) Radicación
La radicación consiste en encontrar un número llamado raíz, de manera que al elevarlo al índice del radical obtengamos la cantidad subradical.
Su representación matemática es:
2) Leyes de los radicales
Son las siguientes:
2.1) Radicales sucesivos
\[\sqrt[m]{a\sqrt[n]{b\sqrt[p]{c}}}=\sqrt[m]{a}\cdot\sqrt[mn]{b}\cdot\sqrt[mnp]{c}\\~\\ \mathrm{Para\ }m,n\ y\ p\in\mathbb{N};a\geq0,\ b\geq0\ \mathrm{y}\ c\geq0\ \]
Ejemplos:
\[\sqrt[3]{8\sqrt{729}} = \sqrt[3]{8}\ \cdot\sqrt[3\cdot2]{729} = \sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[6]{729} = 2\cdot3 = 6\\~\\\sqrt{x\sqrt[3]{y\sqrt[4]{z}}} = \sqrt x\ \sqrt[6]{y}\ \sqrt[24]{z}\]
2.2) Raíz de raíz
\[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \\~\\Para\ \ m\ \land\ n\in\mathbb{N};\ a\geq0\\]
Ejemplos:
\[\sqrt[3]{\sqrt[4]{4096}}=\sqrt[12]{4096}=2\\~\\\sqrt[7]{\sqrt[6]{x}}=\sqrt[42]{x}\]
2.3) Índices iguales
\[\sqrt[n]{a}\ \cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\\~\\\mathrm{Para}\ n\in\mathbb{N};\ a\geq0\ \land\ b\geq0\\~\\
\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\\~\\
\mathrm{Para}\ n\in\mathbb{N};\ a\geq0\ \land\ b>0
\]
Ejemplos:
\frac{\sqrt[3]{\sqrt{4096}}}{\sqrt[6]{64}} = \frac{\sqrt[6]{4096}}{\sqrt[6]{64}} = \sqrt[6]{\frac{4096}{64}} = \sqrt[6]{64}=2
\]
2.4) Exponente fraccionario
\[a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}={\sqrt[n]{a}}^m\\~\\\mathrm{Para}\ m,\ n\in\mathbb{N}\ \land\ n>1\]Ejemplos:
\[\sqrt[5]{a^4} = a^\frac{4}{5}\\~\\{729}^\frac{2}{3} = {\sqrt[3]{729}}^2 = 9^2 = 81\]
2.5) Propiedades adicionales
\[\sqrt[m]{x^a\cdot\sqrt[n]{x^b\cdot\sqrt[p]{x^c}}} = x^\frac{\left(an+b\right)p+c}{mnp}\\~\\ \sqrt[m]{x^a\div\ \sqrt[n]{x^b\div\sqrt[p]{x^c}}} = x^\frac{\left(an-b\right)p-c}{mnp}\]Ejemplos:
\[\sqrt[m]{x^a\cdot\sqrt[n]{x^b\cdot\sqrt[p]{x^c}}} = x^\frac{\left(an+b\right)p+c}{mnp}\\~\\\sqrt[3]{a^2\div\ \sqrt[4]{a^5\div\sqrt[5]{a^3}}} = a^\frac{\left(2\cdot4-5\right)5-3}{3\cdot4\cdot5} = a^\frac{12}{60}=a^\frac{1}{5} = \sqrt[5]{a}\]
2.6) Representación infinita
\[\sqrt[n]{x\cdot\sqrt[n]{x\cdot\sqrt[n]{x\ldots\ }}} = \sqrt[n-1]{x}\\~\\ \sqrt[n]{x\div\ \sqrt[n]{x\div\sqrt[n]{x\ldots}}} = \sqrt[n+1]{x}\]Ejemplos:
\[\sqrt[5]{81\cdot\sqrt[5]{81\cdot\sqrt[5]{81\ldots\ }}} = \sqrt[5-1]{81}=\sqrt[4]{81} = 3\\~\\\sqrt[6]{y\div\ \sqrt[6]{y\div\sqrt[6]{y\ldots}}} = \sqrt[6+1]{y} = \sqrt[7]{y}\]
2.7) Representación finita
Ejemplo 1:
Simplifique la siguiente expresión, sabiendo que tiene 5 radicales \[\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{\ \ldots\sqrt[3]{x}}}}\]
Solución:
\[\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{\ \ldots\sqrt[3]{x}}}}=\left[\sqrt[3^5]{x}\right]^\frac{3^5-1}{3-1} = \left[\sqrt[3^5]{x}\right]^\frac{242}{2} = \left[\sqrt[3^5]{x}\right]^{121} = \left[\sqrt[243]{x}\right]^{121} = \ x^\frac{121}{243}\]Ejemplo 2:
Simplifique la siguiente expresión, sabiendo que tiene 7 radicales \[\sqrt[4]{2^\frac{4^7\cdot\ 5}{5461}\div\sqrt[4]{2^\frac{4^7\cdot\ 5}{5461}\div\sqrt[4]{2^\frac{4^7\cdot\ 5}{5461}\div\ldots\div\sqrt[4]{2^\frac{4^7\cdot\ 5}{5461}}}}}\]
Solución:
\[ \sqrt[4]{2^\frac{4^7\cdot\ 5}{5461}\div\sqrt[4]{2^\frac{4^7\cdot\ 5}{5461}\div\ldots\div\sqrt[4]{2^\frac{4^7\cdot\ 5}{5461}}}}=\left[\sqrt[4^7]{2^\frac{4^7\cdot\ 5}{5461}}\right]^\frac{4^7-1}{4+1}=\left[\sqrt[4^7]{2^\frac{4^7\cdot\ 5}{5461}}\right]^\frac{16383}{5}
=2^{\frac{4^7\cdot\ 5}{5461}\cdot\frac{1}{4^7}\cdot\frac{16383}{5}}
=2^3
=8
\]
3) Guía de ejercicios
A continuación encontrarás la teoría de este capítulo.
Y por aquí los ejercicios de radicación. Los ejercicios no tienen claves, así que vamos a resolver algunos de ellos en los videos:
4) Videos
Transformar Radicales Dobles a Simples
Antes de empezar con los niveles, revisamos como transformar radicales dobles a simples, y también el paso contrario, como transformar radicales simples a dobles en este video, para hacer la explicación mas sencilla, lo hacemos con algunos ejercicios resueltos.
Racionalización
Otro de los temas importantes de este capítulo es la racionalización, así que hemos preparado un video en el que te contamos los casos de racionalización más comunes, los que siempre vienen en el examen.
Nivel 1
En el primer nivel revisamos 2 ejercicios resueltos, en el primero tendremos que transformar a radicales simples, y en el segundo problema, vamos a revisar el tema de radicales homogéneos.
Nivel 2
En el segundo nivel, revisamos 2 ejercicios resueltos adicionales, el primero será de transformación de radicales dobles a radicales simples(mucho más complejo que el del primer nivel); y el segundo ejercicio empezamos con el tema de racionalización.
Nivel 3
En el tercer nivel, revisamos 2 ejercicios bastante complejos, ambos ejercicios son complicados, y abarcan el tema de racionalización.
Nivel 3B
Viene ahora un problema muy interesante, que encontramos en un examen de admisión, e involucra varios trucos de radicación y radicales dobles.
Nivel Preuniversitario 1
Viene ahora un problema que se tomó en un examen de admisión en ESAN, es sobre radicación, y está muy bueno:
5) Referencias:
- “Álgebra intermedia”, Allen R. Angel, 7ma edición, editorial Pearson Educación, México, 2008.
- “Álgebra”, Colegio nacional de matemáticas, 1era edición, editorial Pearson Educación, México, 2009.
- Álgebra 5, texto escolar, Intelectum.
como se resolvería este ejercicio 3 por raiz cuadrada de 2 menos 2 por raiz cuadrada de 3 entre a por raiz cuadrada de b mas b por raiz cuadrada de a.
te agradecería mucho si me respondes 😀
Pues la verdad no entiendo muy bien el orden, es mejor si me pasas una foto a través de la fanpage.
eeeeee no se perdon no se ni porque estoy escribiendo es en el 2020
Como se resuelve estos ejercicios
a^3-b sobre a- raíz cubica de b
2√59 sobre x^2
√a sobre 2b
Te agradecería si me ayudas
Son ejercicios individuales..tres en total
Te respondí por el canal cielo, un saludo y gracias por visitarnos.
Como convertir radicales simples a doble?
Ambos pasos están en el primer video.
raiz de 2+1 entre raiz de 2-1
me puedes ayudar porfavor
31 bro creo
Muy bueno, me ayudó mucho para mi examen de Álgebra. Muy buena metodología de enseñanza!
Que bueno que te haya servido Paola. Un saludo!
me piden reducir la expresion: raiz 33 de 3 por raiz 3 de 33 por raiz3 de 3 por raiz 33 de 33 sobre (raiz 11 de 33)al cuadrado por raiz 33 de 81 por ( raiz 33 de 9) a la cuarta.
xvr eres un capo (y)
En el tercer nivel de radicación, al buscar el factor que hacía falta, se hace un paso que me dejó demasiado confundido y por más que intento razonar el porqué se hizo ese paso, no logro entender como es que «x» pasa a multiplicar siendo «el denominador de un exponente» sin (signo de) igualdad. Está en el min. 1:55-2:12.
Alguien podría explicarlo?
no me sale racionalizar 2 sobre 2 menos raiz de x
Puedes colocar tu problema en el foro para darle un vistazo.
Eta bueno ahora si voy a sacrme buena nota
Suerte en el examen!
Hola buena noches
Como puedo resolver este ejercicio?
1) √8-2√7
Porq me pidieron transformar de R.D a R.S
Hola! , estoy viendo el tema de racionalización , al ver tus vídeos me parece que he entendido así que quisiera confirmar las respuestas a unos ejercicios que tengo en el cuaderno
el primero dice así : 1/ (la quinta raíz de 8) , el resultado que obtuve fue : (la quinta raíz de 4) /( 2)
el segundo dice : 3 /(raíz cuadrada de 5)-(raiz cuadrada de 2) , el resultado que obtuve fue : la raíz cuadrada de 5 + la raíz cuadrada de 2
y el ultimo dice : 1/raíz cuadrada de 5 -raíz cuadrada de 2 – raíz cuadrada de 3 , el resultado que obtuve fue : – (raíz cuadrada de 3-raíz cuadrada de 2+raíz cuadrada de 5) / 6
Espero que me entiendas u.u !!Gracias!!
2/4raiz x ala y y ala 2
hola quería saber como realizar estos ejercicios
a raiz de 3 con el denominador de a raiz de B menos raiz de a
excelente!!!
Tenia una consulta en ningun video vi este tipo de problemas:
12 + 4. raiz de 3 + 4 raiz de 5 + 2 raiz de 15, TODO a una raiz = raiz de A +raiz de B + raiz de C
Hola cómo puedo racionalizar esta fracción
x – y 2 ( y al cuadrado) / y + raíz x
Hola como puedo rqcionalizar raiz cuadrada de 15 sobre la raiz cuadrada de 3 y que la respuesta me quede raiz cuadrada de 5
El quince lo partes en factores como 3×5 ambos dentro de la raiz cuadrada, y luego lo separas en dos raices la raiz de 3 por la raiz de 5, y como están divididos entre la raiz de 3 se eliminan ambas raices de 3 y solo te queda la raíz de 5, suerte.
Jorge tienes una buena manera de explicar , te agradezco por ayudarme en algebra y fisica 😀 Un saludo
por favor como transformar en un solo radical doble lo siguiente
raiz cuadrada de 11 más (dentro de esa misma raiz) raiz cuadrada de 112 y todo eso menos raiz cuadrada de 6 menos (dentro de esa misma raiz) raiz cuadrada de 32
muchas gracias
Quiero que me ayudes esto Por favor
2raiz cuadrada de 5 +raíz cuadrada de 45 +raíz cuadrada de 180
Necesito hallar el radical simple de
A= ^|28 + 6 ^|3. – 3 ^|3. Todo eso está con raíz cuadrado
Hola :’v tengo este problema:
2al cuadrado x 3 al cubo x raiz cuarta de 6
Seria de gran ayuda si alguno me explicara :’)
como sabe que en racionalización el ejercicio 5 y 6 siempre le da 2 minuto 6:11
Por favor este ejercicio necesito la solucion¡¡
√(x/2-√(2x-4)) * Donde X E Q además 2< x <4
Transformar en radicales simples
Yo viendo aljebraa a los 11
;\
:
yo en una carrera universitaria, 8 semestre estudio fisica quimica y artes plasticas, ademas de eso estudio musica, mañana tengo un parcial y nomas dan 5 minutos para resolverlo. en quimica y fisica dan muchas cosas mas dificiles y avanzadas que algebra… ah y porcierto 2 cosas mas: algebra se escribe con g y solo una a. y tengo 11 años 😀 gracias
hola me puedes ayudar con este ejercicio de radicación:
2√28 – √175 + √63 – √7
alternativas:
a) √7
b) – √7
c) 2 √7
d) 3 √7
e) N.A
buenas quisiera hacer una consulta raiz de 61 mas 24 raiz de 5 como convertiria el 24
Buenas tardes un ejercicio de racionalización por favor necesito urgente
1
___________
√2+√3+√5+√7
¿Dónde podemos encontrar las respuesta de los ejercicios de radicación?
en el ejemplo2 de radicales finitas, veo que hay una formula diferente cuando m es impar y cuando m es par, y ya en el ejercicio propuesto en donde el numero de radicales es 7 lo que observo es que estas aplicando la formula donde m es par ¿Porqué?
Buen día profesor, en la segunda fórmula de propiedades adicionales está (an−b)p−c, cuando debería ser (an−b)p+c una suma en lugar de una resta y por lo tanto el segundo ejemplo de propiedades adicionales también hay un error.