Teorema de Bayes, ejercicios resueltos

Veamos el teorema de Bayes en sus distintas formas y algunos ejercicios resueltos que hemos preparado.

Hoy vamos a revisar los ejercicios resueltos y problemas propuestos de la regla o teorema de Bayes. El teorema o regla de Bayes, fue planteado por el matemático y religioso inglés, Thomas Bayes. Este teorema fue publicado en el año 1763, dos años después de la muerte de Bayes.

El teorema de Bayes, nos permite calcular la probabilidad de que ocurra un evento, a partir de valores conocidos de otras probabilidades relacionadas al evento.

El teorema de Bayes lo encontramos de dos formas diferentes, en su forma simple y en su forma extendida.

Forma simple del teorema de Bayes:

teorema de bayes fórmula simple

Donde: 

  • A y B son eventos, y además: P(B) ≠ 0.
  • P(A|B): es la probabilidad de que ocurra A, dado que ha ocurrido B.
  • P(B|A): es la probabilidad de que ocurra B, dado que ha ocurrido A.
  • P(A): es la probabilidad de que ocurra A.
  • P(B): es la probabilidad de que ocurra B.

El teorema expresa la probabilidad de que ocurra el evento A, dado que ha ocurrido B, en función de la probabilidad de que ocurra B dado que ha ocurrido A, de la probabilidad de A y de la probabilidad de B.

En la práctica tiene muchísimas aplicaciones, por ejemplo, conociendo la probabilidad de que una persona tenga fiebre dado que tiene gripe, nos permite calcular la probabilidad de que una persona que tiene gripe, dado que tiene fiebre. Tiene, además, aplicaciones importantísimas en la detección del cáncer y otras enfermedades.

Ejemplo 1:

En la academia de MateMovil, la probabilidad de que a un alumno seleccionado al azar le guste el helado es del 60 %, mientras que la probabilidad de que a un alumno le guste la torta es del 36 %. Además, se sabe que la probabilidad de que a un alumno le guste la torta dado que le gusta el helado es del 40 %. Calcular la probabilidad de que a un alumno le guste el helado, dado que le gusta la torta.

Solución:

Primero definimos los 2 eventos con los que vamos a trabajar:

  • h: que a un alumno le guste el helado.
  • t: que a un alumno le guste la torta.

Tenemos los siguientes datos:

  • P(h) = 0,6.
  • P(t) = 0,36.
  • P(t|h) = 0,4.

Nos piden calcular P(h|t).

Aplicamos el teorema de Bayes:

Entonces, la probabilidad de que un alumno le guste el helado dado que le gusta la torta es de 0,6667 o 66,67 %.

Forma extendida del teorema de Bayes:

teorema de bayes fórmula

Esta forma extendida es la que encontrarás en la mayoría de libros de estadística. Emplea las particiones del espacio muestral. 

Guía de ejercicios

En la guía de ejercicios de probabilidades, encontrarás algunos ejercicios del teorema de Bayes que resolveremos juntos en los videos que vienen líneas abajo.

Probabilidades, ejercicios propuestos PDF

Video

A continuación, viene el video que hemos preparado del teorema de Bayes.

Hasta aquí llegamos por ahora, continuamos con nuestro curso de estadística.

Fuentes:

  • Navidi, W. (2006). Estadística para ingenieros y científicos. Boston, Mass.: McGraw-Hill, p.79.

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