El teorema de la probabilidad total permite calcular la probabilidad de que ocurra un evento, que se puede realizar a través de varios caminos. Antes de revisar el teorema de probabilidad total, es necesario definir el concepto de «partición».
Veamos los ejemplos y ejercicios del teorema de la probabilidad total.
Partición
Sean A1, A2, A2, … , An, eventos de un mismo espacio muestral S. Dichos eventos forman una partición de S si son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. Es decir, si cumplen con las condiciones siguientes:
Teorema de la probabilidad total
El teorema de la probabilidad total, establece que:
Sean A1, A2, A3, … , An, eventos que forman una partición del espacio muestral S, y sea B otro evento cualquiera del espacio muestral S, entonces la probabilidad del evento B se puede obtener de la siguiente manera:
Los problemas de probabilidades que requieren al teorema de probabilidad total, también se pueden resolver de manera sencilla usando el diagrama de árbol. Vamos a revisar 1 ejercicio, y lo vamos a resolver con el diagrama de árbol y con el teorema.
Ejercicio 1:
En un acuario se tienen solo 2 especies de peces, el 40% son de la especie azul y el 60% son de la especie roja. De la especie azul, el 30% son machos; mientras que, de la especie roja, el 40% son hembras. ¿Cuál es la probabilidad de que un pez elegido aleatoriamente en el acuario sea macho?
Solución con el diagrama de árbol:
A partir de los datos del enunciado, vamos a elaborar el diagrama de árbol.
Recuerda el truco que usamos para calcular probabilidades usando el diagrama de árbol: cuando avanzamos de izquierda a derecha, multiplicamos las probabilidades; cuando avanzamos de arriba hacia abajo, sumamos las probabilidades.
La probabilidad de encontrar un macho, seleccionando un pez de forma aleatoria es de 0,48 o 48%.
Solución con el teorema de probabilidad total:
Ahora resolvemos el mismo problema usando el teorema. Tenemos 2 eventos A1 y A2, que forman una partición del espacio muestral S (peces del acuario):
- A1: que un pez elegido aleatoriamente sea de la especie azul.
- A2: que un pez elegido aleatoriamente sea de la especie roja.
A partir del gráfico, sabemos que:
También tenemos al evento B:
- B: que un pez elegido aleatoriamente sea macho.
Nos dicen que de la especie azul, el 30% son machos. Por ello, sabemos que la probabilidad de que un pez sea macho, dado que es de la especie azul, es de:
Nos dicen que el 40% de los peces de la especia roja son hembras, por ello, el 60% serán machos. Entonces, sabemos que la probabilidad de que un pez sea macho, dado que es de la especie roja:
Recordemos el teorema de probabilidad total:
En nuestro caso, tenemos una partición del espacio muestral S, formada solo por 2 eventos: A1 y A2 .
Reemplazando nuestros valores:
La probabilidad de que un pez elegido aleatoriamente sea macho, es de 0,48 o 48 %.
Guía de ejercicios
A continuación, viene una guía con muchos ejercicios de probabilidades en PDF.
Probabilidades, ejercicios propuestos PDF
Video
En el siguiente video, vamos a resolver algunos ejercicios mediante el diagrama de árbol, el teorema de la probabilidad total y también realizaremos la demostración del mismo.
Hasta aquí llegamos por hoy, continuamos en las siguientes clases del curso de estadística.
excelente trabajo que nos compartes….muchas gracias por tu apoyo
Muchas gracias
Me ha servido mucho para entenderlo
Explicación sencilla pero muy bien definida
Muchas gracias por esa gran labor, hay quienes necesitamos de una explicación un poco más explícita y tus vídeos vienen genial!!
Muchas gracias por tu labor, no dejes de abollar a quienes lo necesitamos.
Profe, excelente explicación, muchas gracias. Suscrita a su canal.
En una institución educativa, para las evaluaciones quimestrales se aplica el mismo Examen de matemática a los dos paralelos de segundo año de bachillerato. El paralelo A cuenta con 26 estudiantes, y el paralelo B, con 28 estudiantes. La probabilidad de aprobar con una nota mayor o igual a 7 del paralelo A es del 68 %, y del paralelo B es del 70 %.
Si se analizan los resultados de los exámenes, se toma uno al azar y resulta que el estudiante aprobó el examen, ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante sea del paralelo A?
Muchas gracias por compartir de manera tan clara este contenido 👍
Gracias por compartir tus conocimiento explicando detalladamente todo. Siempre recomiendo tu canal.
Excelente como siempre tus ejercicios y muy didactico la implementacion de imagenes interactivas
Los ejercicios son muy excelentes para entender y poder transmitir. Felicitaciones y muchas gracias.