Teorema de la probabilidad total

Veamos los ejercicios resueltos del problema de la probabilidad total con estos sencillos trucos.

El teorema de la probabilidad total permite calcular la probabilidad de que ocurra un evento, que se puede realizar a través de varios caminos. Antes de revisar el teorema de probabilidad total, es necesario definir el concepto de «partición».

Partición

Sean  A1, A2, A2, … , An, eventos de un mismo espacio muestral S.  Dichos eventos forman una partición de S si son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. Es decir, si cumplen con las condiciones siguientes:

condición de partición del espacio muestral

Teorema de la probabilidad total

El teorema de la probabilidad total, establece que:

Sean A1, A2, A3, … , An, eventos que forman una partición del espacio muestral S, y sea B otro evento cualquiera del espacio muestral S, entonces la probabilidad del evento B se puede obtener de la siguiente manera:

teorema de la probabilidad total

Los problemas de probabilidades que requieren al teorema de probabilidad total, también se pueden resolver de manera sencilla usando el diagrama de árbol. Vamos a revisar 1 ejercicio, y lo vamos a resolver con el diagrama de árbol y con el teorema.

Ejercicio 1:

En un acuario se tienen solo 2 especies de peces, el 40% son de la especie azul y el 60% son de la especie roja. De la especie azul, el 30% son machos; mientras que, de la especie roja, el 40% son hembras. ¿Cuál es la probabilidad de que un pez elegido aleatoriamente en el acuario sea macho?

Solución con el diagrama de árbol:

A partir de los datos del enunciado, vamos a elaborar el diagrama de árbol.

Recuerda el truco que usamos para calcular probabilidades usando el diagrama de árbol: cuando avanzamos de izquierda a derecha, multiplicamos las probabilidades; cuando avanzamos de arriba hacia abajo, sumamos las probabilidades.

diagrama de árbol teorema de la probabilidad total

La probabilidad de encontrar un macho, seleccionando un pez de forma aleatoria es de 0,48 o 48%.

Solución con el teorema de probabilidad total:

Ahora resolvemos el mismo problema usando el teorema. Tenemos 2 eventos A1 y A2, que forman una partición del espacio muestral S (peces del acuario):

  • A1: que un pez elegido aleatoriamente sea de la especie azul.
  • A2: que un pez elegido aleatoriamente sea de la especie roja.

A partir del gráfico, sabemos que:

problema teorema de la probabilidad total

También tenemos al evento B:

  • B: que un pez elegido aleatoriamente sea macho.

Nos dicen que de la especie azul, el 30% son machos. Por ello, sabemos que la probabilidad de que un pez sea macho, dado que es de la especie azul, es de:

teorema de la probabilidad total

Nos dicen que el 40% de los peces de la especia roja son hembras, por ello, el 60% serán machos. Entonces, sabemos que la probabilidad de que un pez sea macho, dado que es de la especie roja:

teorema de la probabilidad total

Recordemos el teorema de probabilidad total:

teorema de la probabilidad total

En nuestro caso, tenemos una partición del espacio muestral S, formada solo por 2 eventos: A1 y A2 .

teorema de la probabilidad total

Reemplazando nuestros valores:

teorema de la probabilidad total

La probabilidad de que un pez elegido aleatoriamente sea macho, es de 0,48 o 48 %.

Guía de ejercicios

A continuación, viene una guía con muchos ejercicios de probabilidades en PDF.

Probabilidades, ejercicios propuestos PDF

Video

En el siguiente video, vamos a resolver algunos ejercicios mediante el diagrama de árbol, el teorema de la probabilidad total y también realizaremos la demostración del mismo. 

Hasta aquí llegamos por hoy, continuamos en las siguientes clases del curso de estadística. 

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Botón volver arriba