Teoría de exponentes, ejercicios resueltos

Hoy revisamos el primer capítulo de nuestro curso de álgebra, se trata de teoría de exponentes, un tema muy importante que será necesario dominar para no tener problemas con los temas que siguen. Hemos preparado varios resueltos en 3 niveles de dificultad y una pequeña guía.

Contenido:
1) Potenciación.
2) Leyes de los exponentes.
3) Ejercicios resueltos.
4) Teoría y guía de ejercicios.
5) Videos.
6) Reto.
7) Referencias.

Recuerda que este es el capítulo más importante de todo el curso de álgebra. 

1) Potenciación

Es una operación matemática en la que dada una base real a elevada a un exponente entero n, hallaremos una expresión llamada potencia P.

Su representación matemática es:

teoría de exponentes ejercicios resueltos

Se escribe an y se lee normalmente como “a elevado a la n”. Hay algunos números exponentes especiales como el 2, que se lee al cuadrado o el 3, que se lee al cubo.

Veamos algunos ejemplos:

\[ 5^2 = 5\cdot5 = 25 \\~\\ (-5)^{2} = (-5)\cdot (-5) = 25 \\~\\ -5^2 = -5\cdot5 = -25\\~\\ y^{3} = y\cdot y\cdot y \]

Debes saber que la teoría de exponentes nos facilitará comprender y entender la química, aritmética, trigonometría, geometría, geometría analítica, el cálculo diferencial e integral, etc.

2) Leyes de los exponentes

Veamos ahora las leyes de los exponentes, serán de mucha utilidad para resolver los problemas que vienen más adelante. 

2.1) Producto de potencias de bases iguales

\[a^{m}\cdot a^{n} = a^{m+n}\]

Ejemplos:

\[x^3\cdot x^5 = x^{3+5} = x^8\\~\\
2^3\cdot2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128\\~\\
\]

2.2) División de potencias de bases iguales

\[\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\\~\\
\mathrm{Para\ }a\ \neq0
\]

Ejemplos:

\[\frac{m^5}{m^2} = m^{5-2} = m^3\\~\\
\frac{6^4}{6^2} = 6^{4-2} = 6^2 = 36\\~\\
\]

2.3) Potencia de una potencia

\[\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}
\]

Ejemplos:

\[\left(m^4\right)^3=m^{(4)(3)}=m^{12}\\~\\\left(2^2\right)^5=2^{(2)(5)}=2^{10}=1024
\]

2.4) Potencia de un producto

\[\left(ab\right)^n=a^n\cdot b^n
\]

Ejemplos:

\[\left(x^3\cdot y^4\right)^4 = \left(x^3\right)^4\cdot\left(y^4\right)^4 = x^{\left(3\right)\left(4\right)}\cdot y^{\left(4\right)\left(4\right)} = x^{12}\cdot y^{16}\\~\\\left(-9x^3\right)^2 = \left(-9\right)^2\cdot\left(x^3\right)^2
= \left(-9\right)^{\left(1\right)\left(2\right)}\cdot x^{\left(3\right)\left(2\right)}
= 81x^6
\]

2.5) Potencia de un cociente

\[\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\\~\\
\mathrm{Para\ }b\neq0
\]

Ejemplos:

\[\left(\frac{m^4}{n^2}\right)^5 = \frac{\left(m^4\right)^5}{\left(n^2\right)^5} = \frac{m^{(4)(5)}}{n^{(2)(5)}} = \frac{m^{20}}{n^{10}}\\~\\\left(\frac{5}{x^2}\right)^3 = \frac{5^3}{\left(x^2\right)^3} = \frac{125}{x^{(2)(3)}} = \frac{125}{x^6}
\]

2.6) Exponente cero

\[a^0=1;\ \forall a\in\mathbb{R} – \left\{0\right\}
\]

Ejemplos:

\[\left(m^7\right)^0 = m^{(7)(0)}=m^0=1\\~\\7\left(2^0\right) = 7\ .\ 1 = 7
\]

2.7) Exponente negativo

\[a^{-n} = \frac{1}{a^n};\ \forall a\in\mathbb{R}-\left\{0\right\}\\~\\a^{-1} = \frac{1}{a};\ \forall a\in\mathbb{R}-\left\{0\right\}\\~\\\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n; a\neq0 ; b\neq0
\]

Ejemplos:

\[\left(-3x\right)^{-2} = \frac{1}{\left(-3x\right)^2} = \frac{1}{\left(-3\right)^2\cdot x^2} = \frac{1}{9x^2}\\~\\\left(\frac{a^3}{b^4}\right)^{-2} = \left(\frac{b^4}{a^3}\right)^2 = \frac{\left(b^4\right)^2}{\left(a^3\right)^2} = \frac{b^8}{a^6}
\]

2.8) Exponente fraccionario

\[a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}
\]

Ejemplos:

\[{27}^\frac{1}{3} = \sqrt[3]{{27}^1} = \sqrt[3]{27} = 3\\~\\4^\frac{5}{2}=\sqrt[2]{4^5}=\left(2\right)^5=32
\]

3) Ejercicios resueltos

a) Simplificar la siguiente expresión: \[\left(-27\right)^{-\frac{4}{3}}\]

Solución:

\[\left(-27\right)^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{\left(-27\right)^\frac{4}{3}} = \frac{1}{\left(\sqrt[3]{-27}\right)^4} = \frac{1}{\left(-3\right)^4} = \frac{1}{81}\]

b) Calcular el valor de M:

\[M=\left({4^3}^{-8}\right)^{9^4}\]

Solución:

\[M = \left({4^3}^{-8}\right)^{9^4} = 4^{3^{-8}\cdot\left(3^2\right)^4} = 4^{3^{-8}\cdot3^8} = 4^{3^{-8+8}} = 4^{3^0} = 4^1 = 4\]

4) Teoría y guía de ejercicios

Aquí encontrarás toda la teoría de este tema:

Teoría de exponentes 1

Y por aquí algunos ejercicios:

Teoría de exponentes 2

5) Videos

Nivel  1

Empezamos con los ejercicios más sencillos, aquí vamos a realizar un repaso de las leyes exponenciales, y resolveremos ejemplos y ejercicios de la guía.

Nivel 2A

Revisamos 3 ejercicios resueltos más, y utilizaremos las propiedades de potencia de una potencia y producto de bases iguales.

Nivel 2B

En este nivel, revisamos los ejercicios 8 y 9 de la guía. No son muy complejos, pero tendremos que aplicar un pequeño truco para llegar a la respuesta. 

Nivel 2C

Viene ahora un ejercicio adicional que nos enviaron a través del facebook, parece complicado, pero ya veremos que solo se trata de aplicar la propiedad «potencia de una potencia».

Nivel 3

Aquí revisaremos sólo un ejercicio resueltos, pero es algo complicado, así que revisa el video con calma. Revisamos las leyes producto de bases iguales y potencia de una potencia.

Nivel Preuniversitario A

Veamos ahora un problema de un examen de admisión de la PUCP, una prestigiosa universidad con un examen riguroso:

6) Reto de teoría de exponentes

Ahora viene el momento en que tienes que demostrar lo aprendido resolviendo un pequeño reto de este tema.

Ingresar al reto de teoría de exponentes

7) Referencias:

  • “Álgebra intermedia”, Allen R. Angel, 7ma edición, editorial PEARSON EDUCACIÓN, México, 2008.
  • “Álgebra”, Colegio nacional de matemáticas, 1era edición, editorial PEARSON EDUCACIÓN, México, 2009.
  • “Álgebra 5”, texto escolar, Intelectum.
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175 comentarios en «Teoría de exponentes, ejercicios resueltos»

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  6. Disculpen son de Perú? Porque si fuera asi les agradeceria mucho que subieran ejercicios nivel uni o san marcos o talvez problemas que proporcionan en la academia Aduni su nivel es alto. Lo digo porque muchos estamos preparandonos y los ejercicios de Aduni son un poco mas avanzados ,enserio nos ayudarian mucho 😉 si lograran subir videos asi

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    • Hola Lucero, más peruanos que el pisco, más adelante prepararé un curso de preparación. Por ahora, recién estoy en Algebra, me tomará muchos meses llegar hasta la preparación, ya que pienso subir Trigonometría, Cálculo, Estadística, y otros cursos más antes. Saludos y gracias por el consejo, creéme que tarde o temprano subiré los videos. No olvides suscribirte al canal.

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  8. como hago para resolver este ejercicio
    (raiz cuadrada de 2)elevada a la raiz cuadrada de x+1 todo eso =ala raiz de x-2 de 8

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  10. hola Jorge y como hago si me toca cadena de exponentes, cuando el primer exponente a resolver es «x» y encima me hallar «x»…… AYUDAME PORFA

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  11. hola Jorge y como hago si me toca cadena de exponentes, cuando el primer exponente a resolver es «x» y encima me hallar «x»…… AYUDAME PORFA!!!! :,C

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    • Luciano, cuando te toquen este tipo de problemas, trabaja en el otro miembro de la ecuación, y dale la forma del primero. Por ejemplo, si tienes x a la x = 4 ; entonces ponlo como (x a la x) = (2 a la 2) y allí ya podrás hallar el valor de x.

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  12. Hola que tal me gusta mucho los videos que haces.
    Me sirven de mucha ayuda ya que aun soy un niño y me sirven de mucho las soluciones que presentas en tus videos MUCHAS GRACIAS Jorge.
    Te deseo muchos exitos en esta pagina web.

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    • Hola Sebastián. Para la pacífico no tengo, pero si me pasas exámenes y solucionarios puedo resolver algunos y te lo agradecería mucho. En estos días van a salir en el canal varios ejercicios de exámenes de la UNI, ESAN y San Marcos, así que suscríbete y atento a los nuevos videos.

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  14. todo muy bien exelente necesito esjercicios de otro tipo ayúdenme= E= ab elevado ab elevado ab si ab es igual a b elevado a b y eso es igual a 2

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  15. Jorge nesecito operaciónes de teoria de exponentes en el cual se empleen 3 propiedades en el mismo ejercicio espero que me respondas lo mas rapido posible

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  17. Hola!! gracias muchas gracias de verdad me ayudaste un monton en Fisica. me gustan todos los videos son exelentes!! sigue adelante; ha!! por favor has videos de quimica, estare a la espectativa!!! DIOS TE BENDIGA!!!

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  23. Hola, acabo de ver tu video y me parecio muy interesante, este año acabo mi secundaria y tengo cierto problemas para aprenderme las razones trigonometricas seria de gran ayuda si subes un video donde explicas todo eso 😀

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  37. Hola, muchas gracias por la ayuda, realmente me sirve mucho. Solo una duda:
    x^3^3=3
    ¿Cuánto saldría x?
    Es un ejercicio de la practica que no he podido resolver, en todo caso seguiré viendo los videos pero agradecería que me respondieras esto, por favor. Un saludo, y nuevamente gracias.

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  45. Hola necesito su ayuda, estoy proximo a dar un examen de admison y hay algunos temas que no entiendoo, como hago para las clases particulares o para que me ayudee, explica muy bieen

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  59. Estimado Jorge; he seguido sus vídeos y estoy sorprendido por esa gran capacidad de enseñanza que tiene! Mis felicitaciones siempre!

    Saludos desde México ciudad!

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  67. Pingback: Teoría de exponentes, reto y ejercicios propuestos | MateMovil

    • esta en el video de teoría de exponentes- ejercicios resueltos- nivel 3, solo no te confundas ahí el profe lo numero como 22 pero es el 23 si miras bien el ejercicio en si y ps pq ya el 22 se realizo en el video anterior.

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  87. Deverdad como te adoro eres un angelisimo pues la forma que explicas haces a que lo entienda super bien y mas se ve que disfrutas lo que explicas, saludos

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  89. Hola profe tus vídeos son excelentes la verdad , me gustaría mucho saber si tu das clases particulares para mi ya que estoy iniciando la carrera de ing de software y me gustaría aclarar y reforzar varios temas. Te agradezco inmensamente y excelente tus vídeos te felicito.

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  103. Yo apenas aprendiendo la teoria de exponentes, se me hace muy dificil aveces me quedo por la mitad de tal ejercico despues ya no se como desarrollar que me recomindan estudiar algo basico para que me pueda memorizar y no olvidarme en los exámenes.

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    • X^x^3 =3 en este tipo de ejercisios se trata de dar una forma al número. Trabajaremos con el 3

      3= 3^1 >> ese 1 se puede expresar como 3/3 >> 3^ 3/3 luego por propiedad separamos esa multiplicación.
      (3^1/3)^3 de esta misma forma trabajamos el exponente 3 que quedo separado
      3=(3^1/3)^(3^1/3)^ 3

      X^x^3= (3^1/3)^(3^1/3)^3 >> X= 3^1/3

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    • Ese ejercisio tienes que trabajar con el exponente de 3^1 darle forma a ese 1:

      X^x^3= 3^1 >> 1= 3/3 queda 3^3/3 usamos la teoria de potencia de potencia para separarlo y darle forma (3^1/3)^3 este 3 que esta afuera volvemos a trabajar de esa manera con su exponente 1 (3^1/3)^3^1 >> 1=3/3
      X^x^3=(3^1/3)^3^3/3 >>> X^x^3= (3^1/3)^(3^1/3)^3
      Siendo X = 3^1/3 o raiz cubica de 3

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