Función de distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta

Veamos la definición, los ejemplos y ejercicios de la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta.

La función de distribución acumulativa especifica la probabilidad de que una variable aleatoria sea menor o igual a un valor dado. La función de distribución acumulativa de la variable aleatoria X es la función F(x) = P(X ≤ x). Para que se entienda mejor, vamos a revisar algunos ejemplos y ejercicios.

Contenido:

1. Introducción.

2. Ejemplos.

3. Guía de ejercicios.

4. Video clases.

5. Fuentes bibliográficas.

Antes de empezar, un pequeño consejo, no hay que confundir la función de probabilidad con la función de distribución acumulativa.

1. Introducción

La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta que estudiamos en un capítulo anterior, nos indica la probabilidad de que la variable aleatoria sea igual a un valor determinado. Pero la función de distribución acumulativa especifica la probabilidad de que una variable aleatoria sea menor o igual que un valor dado. A la función de distribución acumulativa la denominamos F(x) y su fórmula es la siguiente:

Función de distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta

Vamos a mencionar 2 propiedades importantes:

  • Los valores de F(x) se encuentran siempre en este intervalo: 0F(x) ≤ 1.
  • F(x) no es una función decreciente.

Además, para la función de distribución acumulativa de la variable aleatoria discreta, se cumple que:

2. Ejemplos

Ejemplo 1:

Una tienda vende discos duros de 1 TB, 2 TB y 3 TB de capacidad. Encontrar la función de distribución de acumulativa de X, sabiendo que X = la capacidad de memoria en un disco duro comprado: 

Función de distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta

Solución:

Nos piden encontrar la función de distribución acumulativa de X, entonces recordemos la fórmula:

Función de distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta

Primero vamos a encontrar F(x) para cada uno de los posibles valores de X:

Completamos la tabla:

Función de distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta

Vamos a borrar la columna f(x) para no generar confusión:

función de distribución acumulativa

A continuación, elaboramos la gráfica de x vs F(x):

Función de distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta

En la gráfica, colocamos líneas continuas entre los valores, partiendo desde el lado izquierdo:

función de distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta

Y listo, solo nos queda definir la función F(x) a partir de la gráfica:

Función de distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta

Además, pudimos comprobar que los valores de F(x) se encuentran entre 0 y 1, y también, que F(x) no es una función decreciente. Estas son 2 propiedades importantes de la función de probabilidad.

Ejemplo 2:

Una moneda tiene en sus caras, un gato y un perro. Encontrar la función de distribución acumulativa del número de perros obtenidos al lanzar 2 monedas y graficar la función.

Función de distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta

Solución:

Arrancamos definiendo la variable aleatoria discreta con la que vamos a trabajar:

  • X = número de perros obtenidos al lanzar 2 monedas.

Si lanzamos dos monedas, podemos obtener los siguientes resultados: gato con gato, gato con perro, perro con gato o por último, perro con perro. 

Función de distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta

A continuación, colocamos en una tablita vertical, los valores de la variable aleatoria X (número de perros obtenidos al lanzar 2 monedas):

Función de distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta

A cada valor de la variable aleatoria, le asignamos una probabilidad:

Función de distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta

Y completamos la tablita que venimos construyendo, agregando la columna de la función de probabilidad:

Función de distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta

Ahora sí, vamos con la función de distribución acumulativa, recordando su fórmula:

Función de distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta

i) Calculamos los valores de F(x), empezando con F(0).

Función de distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta

La probabilidad de obtener 0 perros o menos al lanzar 2 monedas, es 0,25.

ii) Continuamos con F(1):

Función de distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta

La probabilidad de obtener 1 perro o menos al lanzar 2 monedas, es 0,75.

iii) Seguimos con F(2):

Función de distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta

La probabilidad de obtener 2 perros o menos al lanzar 2 monedas, es 1.

Completamos nuestra tablita:

Función de distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta

Puedes ver en la tabla como los valores de f(x) se van acumulando para obtener los valores de F(x)

Agradecemos a f(x) por su participación, pero ya no la necesitamos. Nos quedamos con x y F(x):

Función de distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta

Y empezamos nuestra gráfica de F(x), marcando los puntos de la tabla:

Función de distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta

En la gráfica, colocamos líneas continuas entre los valores, partiendo desde el lado izquierdo:

Función de distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta

Y ahora sí, solo nos queda pasar la información de la gráfica a la definición de F(x):

Función de distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta

Ejemplo 3:

Sea X el número de defectos importantes en un auto seleccionado al azar de cierta marca. La función de distribución acumulativa de X es la siguiente:

función de distribución acumulativa de variable aleatoria discreta

Calcule las siguientes probabilidades:
a) f (2)
b) P (X≤ 3)
c) P (1 < X ≤ 3)
d) P (1 < X ≤ 4)
e) P (X ≥ 2,35)

Solución:

A partir de la función de distribución acumulativa, vamos a elaborar la tabla de la función de probabilidad. Empezamos colocando una tabla de 3 columnas. Los valores de X los obtenemos de los extremos de los intervalos que aparecen en la función de distribución acumulativa. No tomes en cuenta la primera línea de la función de distribución acumulativa. 

función de distribución acumulativa de variable aleatoria discreta

A continuación, encontraremos los valores de f(x) a partir de los valores de la función de distribución acumulativa F(x). Esto se parece mucho a lo que hicimos en el capítulo de tablas de frecuencia. Arrancamos colocando el primer valor de F(x) en la columna de f(x).

función de distribución acumulativa de variable aleatoria discreta

Después calculamos el resto de valores, ten en cuenta que los valores de f(x) se van acumulando para dar paso a los valores de F(x) y los agregamos a la tabla:

función de distribución acumulativa de variable aleatoria discreta

Calculamos lo que pide el problema:

a) f(2) 
Lo obtenemos a partir de la tabla:

función de distribución acumulativa de variable aleatoria discreta

b) P(X ≤ 3)
Partimos de la fórmula de la función de distribución acumulativa, reemplazando x por 3.

función de distribución acumulativa de variable aleatoria discreta

Le damos la vuelta a la ecuación:

función de distribución acumulativa de variable aleatoria discreta

A partir de la tabla:

función de distribución acumulativa de variable aleatoria discreta

c) P(1 < X ≤ 3)
En este apartado, usaremos la siguiente propiedad:

función de distribución acumulativa de variable aleatoria discreta

d) P(1 < X ≤ 4)
Usamos la misma propiedad:

función de distribución acumulativa de variable aleatoria discreta

e) P(X ≥ 2,35)
A partir de la tabla, sabemos que la variable aleatoria X puede tomar los valores: 1, 2, 3 o 4. Si X tiene que ser mayor a 2,35; puede ser 3 o 4.

función de distribución acumulativa de variable aleatoria discreta

3. Guía de ejercicios

A continuación, viene una guía con muchos ejercicios de variables aleatorias, resolveremos algunos en los videos.

Descarga la guía de variables aleatorias

4. Video clases

Como siempre, hemos preparado algunos videos con todo lo que debes saber de la función de distribución acumulativa.

Empezamos con el video de teoría:

Y continuamos con un ejercicio:

Hasta aquí llegamos por hoy, recuerda que tenemos muchísimas otras clases del curso de estadística.

5. Fuentes:

  • Navidi, W. (2006). Estadística para ingenieros. 1a ed. México: McGraw-Hill, p.92.
  • Johnson, R. (2012). Probabilidad y estadística para ingenieros, Miller y Freund. 8a ed. Estado de México: Pearson, p.84.
  • Wisniewski, P. (2014). Estadística y probabilidad. 1ra ed. México: Editorial Trillas, p.114.
  • Lista de los mejores libros de estadística.

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