Media, varianza y desviación estándar de una variable aleatoria discreta

Veamos cómo calcular la media (esperanza o valor esperado), la varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria discreta.

El día de hoy veremos cómo calcular la media (esperanza o valor esperado), la varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria discreta a partir de su función o distribución de probabilidad.

Media o valor esperado

La media «µ» o valor esperado «E(x)» es un promedio ponderado de los valores que asume la variable aleatoria cuando los pesos son las probabilidades. Es una medida de tendencia central. Cuando trabajamos con una variable aleatoria discreta se calcula mediante la siguiente fórmula:

Como verás, la media µ de una variable aleatoria discreta X se encuentra al multiplicar cada posible valor de X por su propia probabilidad y luego sumar todos los productos.

Varianza

La varianza, σ2, es un promedio ponderado de las desviaciones al cuadrado de una variable aleatoria de su media. Los pesos son las probabilidades. La varianza σ2 se calcula con la siguiente fórmula:

Pero la verdad, es que es más fácil y rápido usar esta fórmula:

La varianza es una medida del cuadrado de la distancia promedio entre la media y cada elemento de la población. La varianza es una medida de variabilidad o dispersión.

Desviación estándar

La desviación estándar σ es la raíz cuadrada positiva de la varianza:

Ejemplo 1

Encuentra la media, varianza y desviación estándar a partir de la siguiente función de probabilidad:

Solución:

Para encontrar la media, varianza y desviación estándar, es mejor colocar la tabla de forma vertical:

Para calcular la media µ, usamos su fórmula:

Agregamos una columna más a la tabla, para encontrar los productos x·f. Luego, sumamos estos productos.

Listo el valor de la media, obtuvimos que:

Llega el turno de la varianza, usaremos la fórmula rápida:

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Entonces, agregamos algunas columnas más a nuestra tabla para encontrar lo que nos pide la fórmula:

Ya casi terminamos con la varianza:

Y por último, viene el valor de la desviación estándar, que es la raíz cuadrada positiva de la varianza.

Guía de ejercicios

A continuación, viene una guía con ejercicios de PDF de media, varianza y desviación estándar de una variable aleatoria discreta. 

Video

Viene un video con un repaso de las fórmulas y ejercicios resueltos. 

Hasta aquí llegamos por ahora, pero recuerda que tenemos muchas clases más de variables aleatorias. 

Fuentes:

  • Johnson, R., & Kuby, P. (2012c). Estadística elemental (11a. ed.). Ciudad de México, México: Cengage Learning, p.236.
  • Anderson, D., Sweeney, D. and Williams, T. (2012). Estadística para negocios y economía. México D.F.: Cengage Learning, p.203.

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