Media (valor esperado), varianza y desviación estándar de una variable aleatoria discreta

Veamos cómo calcular la media (valor esperado o esperanza), la varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria discreta.

El día de hoy veremos cómo calcular la media (esperanza o valor esperado), la varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria discreta a partir de su función o distribución de probabilidad.

Contenido:

1. Media o valor esperado de variable aleatoria discreta.
2. Varianza.
3. Desviación estándar.
4. Ejemplos.
5. Guía de ejercicios.
6. Video clases.
7. Reto y solución.
8. Fuentes bibliográficas.

Ahora sí, empezamos con la clase de hoy. 

1. Media o valor esperado

La media «µ» o valor esperado «E(X)» es un promedio ponderado de los valores que asume la variable aleatoria cuando los pesos son las probabilidades. Es una medida de tendencia central. Cuando trabajamos con una variable aleatoria discreta, la media o valor esperado se calcula mediante la siguiente fórmula:

Como verás, la media µ de una variable aleatoria discreta X se encuentra al multiplicar cada posible valor de X por su propia probabilidad y luego sumar todos los productos.

El valor esperado o media no tiene que ser un valor que la variable aleatoria pueda asumir. 

2. Varianza

La varianza, σ2 o V(X), es un promedio ponderado de las desviaciones al cuadrado de una variable aleatoria de su media. Los pesos son las probabilidades. La varianza σ2 o V(X) se calcula con la siguiente fórmula:

Pero es más fácil y rápido usar esta fórmula, equivalente a la anterior:

Debemos recordar que la varianza es una medida de variabilidad o dispersión.

3. Desviación estándar

La desviación estándar σ es la raíz cuadrada positiva de la varianza:

Recuerda que la varianza se mide en las mismas unidades que la variable aleatoria original.

Ejemplo 1

Sea X el número de clientes que visitan una tienda por día. Calcular el valor esperado de X a partir de su función de probabilidad:

Solución:

Recordemos la fórmula de la media o valor esperado:

Entonces reemplazamos los valores:

Y listo, la media o valor esperado es de 0,60. Recuerda que el valor esperado o media no tiene que ser un valor que la variable aleatoria pueda asumir. 

Ejemplo 2

Encuentra la media, varianza y desviación estándar de la variable aleatoria X:

Solución:

Cuando no solo nos piden calcular la media, si no también la varianza y la desviación estándar, es mejor emplear una tabla en la cual iremos colocando todo lo que indican las fórmulas. Empezamos colocando la tabla de la función de manera vertical.

Para calcular la media µ o valor esperado E(X), usamos su fórmula:

Agregamos una columna más a la tabla, para encontrar los productos x·f(x). Luego, sumamos estos productos.

Listo el valor de la media, obtuvimos que:

Llega el turno de la varianza, usaremos la fórmula rápida:

Entonces, agregamos algunas columnas más a nuestra tabla para encontrar lo que nos pide la fórmula:

Ya casi terminamos con la varianza:

Y por último, viene el valor de la desviación estándar, que es la raíz cuadrada positiva de la varianza.

5. Guía de ejercicios

A continuación, viene una guía con ejercicios de PDF de media, varianza y desviación estándar de una variable aleatoria discreta. 

Descarga la guía de variables aleatorias

6. Video

Viene un video con un repaso de la fórmula del valor esperado.  

A continuación, veremos la clase de media, varianza y desviación estándar de una variable aleatoria discreta.

Y terminamos con un ejercicio muy interesante en el que se combina lo aprendido en la clase de función de probabilidad de una variable aleatoria discreta y la media o valor esperado. 

7. Reto:

Si se lanza un dado normal, ¿cuál es el valor esperado?

Solución:

Vamos a realizar un experimento muy sencillo que consiste en lanzar un dado. Los resultados que podemos obtener los colocamos de forma gráfica:

media o valor esperado de una variable aleatoria discreta

Definimos la variable aleatoria discreta X:

  • X = resultado de lanzar un dado.

Ahora colocamos en una tablita todos los valores posibles del rango de esta variable aleatoria discreta X:

media o valor esperado de una variable aleatoria discreta

Vamos a asociar cada valor con una probabilidad. En un dado, las probabilidades son bastante sencillas de calcular usando la fórmula de probabilidad:

media o valor esperado de una variable aleatoria discreta

Ahora colocamos las probabilidades en la tablita:

media o valor esperado de una variable aleatoria discreta

Finalmente, encontramos el valor esperado:

media o valor esperado de una variable aleatoria discreta

Atención, esto significa que, si lanzamos un dado muchas veces y sacamos la media de los resultados obtenidos, esta media se acerca a 3,5.

8. Fuentes:

  • Johnson, R., & Kuby, P. (2012c). Estadística elemental (11a. ed.). Ciudad de México, México: Cengage Learning, p.236.
  • Anderson, D., Sweeney, D. and Williams, T. (2012). Estadística para negocios y economía. 11a ed. México D.F.: Cengage Learning, p.203.
  • Devore, J. (2016). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. 9a ed. Ciudad de México: Cengage Learning, pp.112-113.
  • Angulo Bustíos, C. (2011). Estadística. 3ra ed. Lima: Universidad de Piura, p.59.
  • Lista de los mejores libros de estadística.

Hasta aquí llegamos por ahora, pero recuerda que tenemos muchas clases más de variables aleatorias. 

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