Multiplicación de un vector por un escalar

Veamos como multiplicar un vector por un escalar.

Hoy vamos a revisar que ocurre cuando multiplicamos un vector por un escalar (número real).

Si tenemos un vector Ā y una cantidad escalar k (un número real), entonces k·Ā es un vector paralelo al vector Ā, donde el sentido depende del signo de k. Aquí algunos ejemplos:

multiplicación de un vector por un escalar

Veamos por aquí un ejemplo diferente:

Multiplicación-de-vector-por-escalar2

En estos ejemplos, podemos apreciar lo siguiente:

  • Si k es positivo, entonces los vectores Ā y k·Ā son paralelos y tienen la misma dirección.
  • Si k es negativo, entonces los vectores Ā y k·Ā son paralelos y tienen direcciones opuestas.
multiplicación de un vector por un escalar

Respecto al módulo del vector k·Ā, es decir, el tamaño o longitud del vector, este se obtiene mediante:

multiplicación de vector por escalar

Ejemplo 1:

A partir del gráfico de Ā, graficar 3·Ā y -3·Ā.

producto de un vector por un escalar

Solución:

Debemos tener en cuenta que el vector 3·Ā , tiene un módulo del triple del módulo del vector Ā y la misma dirección de este. Por otro lado, el vector -3·Ā , tiene un módulo del triple del módulo del vector Ā y dirección opuesta a este. Veamos la gráfica:

Multiplicación de un vector expresado mediante un par ordenado por un escalar

Si es que el vector Ā, se encuentra expresado mediante un par ordenado y lo multiplicamos por el escalar k, entonces obtenemos lo siguiente:

multiplicación de vector por escalar

Ejemplo 2:

Si Ā = (6; 4), hallar el vector  2Ā y  -2Ā.

Solución:

Veamos primero el vector 2Ā:

multiplicación de vector por escalar

Veamos ahora el vector -2Ā:

multiplicación de un vector por un escalar

Aunque el ejercicio no lo pide, vamos a graficar los vectores 2Ā y -2Ā:

multiplicación de vector por escalar número

Ejemplo 3:

Sabiendo que B̄ = (4; 6) y C̄ = (2; 1), calcular el valor del vector R si:

 

producto-de-vector-por-escalar-4

Solución:

Primero vamos a calcular el vector R̄, y luego calcularemos su módulo:

Ahora que ya tenemos el par ordenado que representa al vector R̄, podemos calcular su módulo teniendo en cuenta la siguiente fórmula:

módulo-de-un-vector-expresado-mediante-par-ordenado

En nuestro caso, R̄ = (8; 6), por lo tanto:

producto-de-vector-por-escalar-6

Ahora aplicamos la fórmula del módulo:

producto-de-vector-por-escalar-7

Guía de ejercicios

A continuación viene una guía con muchos ejercicios de vectores, resolveremos algunos en el video. 

Vectores, ejercicios propuestos en PDF.

Video

En el siguiente video, vamos a repasar la teoría y veremos también muchos ejercicios.

Reto

A partir de la gráfica del vector C̄, graficar:

multiplicación de un vector por un escalar

Solución:

Aplicaremos lo que hemos aprendido en el video:

multiplicación de un vector por un escalar

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