Límites (introducción), ejercicios resueltos

Veamos los ejercicios resueltos y propuestos de límites, y también su definición.

El límite de una función f(x) en el punto a, es el valor al que se acercan las imágenes ( las y o f(x) ), cuando las originales (las x) se acercan al valor de a. En otras palabras, es el valor al cual tienden las imágenes f(x) cuando las x tienden al valor de a.

Lo expresamos de la siguiente manera:

Veamos ahora algunos detalles y también los ejercicios resueltos que hemos preparado para este tema:

Repaso

A manera de ejemplo, vamos a trabajar con la función f(x):

¿Qué pasaría si analizamos la función f(x) en x = 1?

definición-de-límite2

Cuando x es igual a 1, no sabemos el valor de la función (es indeterminado). Ya que no podemos analizar la función en x = 1, vamos a acercarnos todo lo que podamos a x = 1, tanto por la izquierda (valores menores a 1), como por la derecha (valores mayores a 1).

límites-tabla-de-valores2

Como vemos, las imágenes se acercan cada vez más a 2, cuando los valores de x se acercan cada vez más a 1, tanto por la izquierda como por la derecha. Este comportamiento lo podemos verificar de forma gráfica:

límites-ejercicios-resueltos-1

Entonces, podemos confirmar que los valores de las imágenes f(x) se acercan al valor de 2, cuando los valores de x se acercan al valor de 1. Como mencionamos arriba, hay un punto vacío en x = 1, y esto se debe a que el valor de la función no está determinado en ese punto.

Límite

El límite de una función f(x) en el punto a, es el valor al que se acercan las imágenes (las y o f(x)), cuando las originales (las x) se acercan al valor de a. En otras palabras, es el valor al cual tienden las imágenes f(x) cuando las x tienden al valor de a. Lo expresamos de la siguiente manera:

En el caso de la función que tenemos como ejemplo, las imágenes tienden al valor de 2 cuando las x tienden al valor de 1, y lo podemos representar de la siguiente manera:

Ejemplo

Sabiendo que f(x) = xdeterminar el valor de:

Podemos hacerlo de dos formas, mediante una tabla de valores o mediante la gráfica. Escogeremos la forma gráfica:

límites-ejercicios-resueltos-2

Podemos observar que las imágenes f(x) se acercan al valor de 4, cuando las x se acercan a 2, por ello:

Lo verificamos mediante una tabla:

Y aquí comprobamos que el límite de la función f(x) cuando x tiende o se acerca a 2, es 4, pues las imágenes f(x) se acercan al valor de 4 cuando x se acerca a 2.

Guía de ejercicios

Desde el siguiente enlace podrás descargar la guía de ejercicios con muchos problemas que resolveremos en los videos.

Límites Ejercicios Propuestos PDF

Video

Ahora vamos a revisar el video que hemos preparado, con un breve repaso de la teoría y muchos ejercicios resueltos.

Reto

Antes de ir a tu examen, recuerda revisar el siguiente reto:

Solución: a) 3   b) 1   c) no existe   d) 3  e) 2

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