Media, varianza y desviación estándar de una variable aleatoria binomial

Para encontrar la media, la varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria binomial, solo tienes que aplicar algunas fórmulas muy sencillas que veremos aquí.

Contenido:

1) Media o valor esperado de una variable aleatoria binomial.
2) Varianza de una variable aleatoria binomial.
3) Desviación estándar de una variable aleatoria binomial.
4) Ejemplo.
5) Guía de ejercicios.
6) Video.
7) Referencias.

Veamos lo que hemos preparado.

1) Media o valor esperado de una variable aleatoria binomial

La media la representamos mediante μ y es igual al valor esperado E(X). La fórmula es la siguiente:

\[\mu=E(X)=np\]

No hay que olvidar que la media es una medida de tendencia central. Su interpretación es interesante y algo enredada, te sugiero ver el video que viene líneas abajo.

2) Varianza de una variable aleatoria binomial

La varianza la representamos mediante σ2 o V(X) y la calculamos con la siguiente fórmula.  

\[\sigma^2=V(X)=np(1-p)\]

3) Desviación estándar de una variable aleatoria binomial

La desviación estándar la representamos mediante σ y es la raíz cuadrada de la varianza.

\[\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{np(1-p)}\]

Recuerda que la varianza y la desviación estándar son medidas de dispersión.

4) Ejemplo

En una tienda, el 75% de las compras se hacen con tarjeta de crédito. Sea X = el número entre diez compras seleccionadas al azar realizadas con tarjeta de crédito. Entonces X ~ B (10; 0,75).

Calcular:
a) El valor esperado de X.
b) La varianza de X.
c) La desviación estándar de X.

Solución:

Para calcular los parámetros que nos piden, usaremos los valores de n y p. Siento:

  • n: número de ensayos. En este caso, n = 10.
  • p: probabilidad de éxito. En este caso, p = 0,75.

Estos valores son datos que nos da el enunciado.  

a) Media o valor esperado:

Usamos la siguiente fórmula:

\[\mu = E(X) = np\\~\\
\mu = E\left(X\right) = 10\cdot0,75\\~\\
\mu = E(X)=7,5\\~\\
\]

Aunque X, el número entre diez compras seleccionadas al azar realizadas con tarjeta de crédito, solo puede tomar valores enteros, su media o valor esperado no tiene que ser un valor entero.

Si se realiza un gran número de experimentos binomiales independientes, siempre con 10 ensayos y una probabilidad de éxito de 0,75, entonces el promedio de los éxitos por experimento se acerca, tiende o se aproxima a 7,5.

b) La varianza de X.

La varianza la calculamos usando esta fórmula:

\[\sigma^2=V(X)=np(1-p)\\~\\
\sigma^2=V\left(X\right) = 10\cdot0,75\cdot\left(1-0,75\right)\\~\\
\sigma^2 = V\left(X\right) = 10\cdot0,75\cdot0,25\\~\\
\sigma^2 = V\left(X\right) = 1,875\\~\\
\]

c) La desviación estándar de X.

Si ya tenemos el valor de la varianza, solo recordaremos que la desviación estándar es la raíz cuadrada positiva de la varianza.

\[\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{np(1-p)}\\~\\
\sigma = \sqrt{1,875}\\~\\
\sigma = 1,3693\\~\\
\]

5) Guía de ejercicios

Desde el siguiente botón, podrás descargar la guía de ejercicios de distribución binomial.

Descarga la guía de ejercicios

6) Video

En este video, vamos a resolver a explicar el ejercicio de arriba y realizaremos la interpretación de la media o valor esperado.

7) Referencias

  • Devore, J. (2016). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. 9a ed. Ciudad de México: Cengage Learning, pp. 114-128.
  • Anderson, D., Sweeney, D. y Williams, T., 2012. Estadística para negocios y economía. 11a ed. Ciudad de México: Cengage Learning, pp.207-221.
  • Johnson, R. y Kuby, P., 2012. Estadística elemental. 11a ed. Ciudad de México: Cengage Learning, pp.243-262.
  • Navidi, W. (2006). Estadística para ingenieros. 1a ed. México: McGraw-Hill, pp.195-206.
  • Lista de los mejores libros de estadística.

Un comentario

  1. Hola profesor, podría usted ayudarme a resolver este problema:
    Un taller de cómputo mide los tiempos de reparación de unas impresoras, tiene una distribución aproximadamente exponencial, con media de 22 minutos. A partir de esta información se solicita:
    Encontrar la probabilidad de que el tiempo de reparación sea menor a diez minutos.
    Si el costo de reparación es de 1,500 pesos por cada media hora o fracción ¿cuál es la probabilidad de que una reparación cueste 3,000 pesos?
    Para efectuar una programación, ¿cuánto tiempo se debe asignar a cada reparación, para que la probabilidad de que cualquier tiempo de reparación mayor que el tiempo asignado sea solo de 0.1?.

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