Permutación con repetición, ejercicios resueltos

Veamos los problemas propuestos y ejercicios resueltos de permutación con repetición.

La permutación con repetición, se usa cuando en un total de “n” elementos, el primero se repite “a” veces, el segundo “b” veces, el tercero “c” veces…

La fórmula para calcular el número de permutaciones u ordenamientos, es la siguiente:

\( { P }_{ a;b;c;…\quad }^{ n }=\frac { n! }{ a!b!c!… } \)

Donde:

  • \(n=a+b+c\)

Hay tres condiciones en la permutación con repetición:

  • Importa el orden.
  • Hay elementos repetidos.
  • Participan todos los elementos en los ordenamientos.

Ejemplo 1

¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra BANANA?

Solución:

Coloquemos algunas palabras como ejemplos:

  • ANANAB.
  • BANAAN.
  • NAANAB.

En este caso, podemos ver que algunos elementos se repiten: la letra A aparece 3 veces en la palabra BANANA, mientras que la letra N aparece 2 veces. Además, importa el orden en el que se coloquen las letras, ya que ANANAB no es la misma palabra que BANAAN. Finalmente, participan todos los elementos en los ordenamientos, es decir, las 6 letras de la palabra BANANA.

Entonces, podemos aplicar la fórmula de permutación con repetición, teniendo en cuenta que:

  • Número de veces que se repite la letra B = 1
  • Número de veces que se repite la letra A = 3
  • Número de veces que se repite la letra N = 2
  • Número total de elementos: \(n=1+3+2\quad \longrightarrow \quad n=6\)

\({ P }_{ 1;3;2\quad }^{ 6 }=\frac { 6! }{ 1!3!2! } =\frac { 6! }{ 1!3!2! } =\frac { 6x5x4x3x2x1 }{ 3x2x2x1x1 } =\frac { 720 }{ 12 } =60\)

En total, se pueden formar 60 palabras diferentes con las letras de la palabra BANANA.

Ejemplo 2

En una urna, hay 5 bolas del mismo tamaño y peso, de los cuales, 3 son rojas y 2 son azules. ¿De cuántas maneras se pueden extraer una a una las bolas de la urna?

Solución:

Coloquemos algunas formas de extraer las bolas:

  • Roja – Roja – Azul – Roja – Azul.
  • Azul – Roja – Roja – Azul – Roja.
  • Roja – Azul – Roja – Azul – Roja.

En cada forma de extraer las bolas, importa el orden, hay elementos repetidos y participan todos los elementos (bolas), por ello, usaremos la fórmula de permutación con elementos repetidos.

  • Número de bolas rojas: 3.
  • Número de bolas azules: 2.
  • Número total de elementos: \(n=3+2\quad \longrightarrow \quad n=5\)

\({ P }_{ 3;2 }^{ 5 }=\frac { 5! }{ 3!2! } =\frac { 5x4x3x2x1 }{ 3x2x1x2x1 } =\frac { 120 }{ 12 } =10\)

En total, se pueden extraer las bolas de 10 formas diferentes.

Guía de ejercicios

En la siguiente guía, encontrarás muchos problemas propuestos de permutaciones y combinaciones, resolveremos en el video, los de permutación con elementos repetidos.

Permutaciones y combinaciones, ejercicios resueltos en PDF

Video

En el siguiente video, vamos a resolver 3 problemas de permutación con elementos repetidos:

Hasta aquí llegamos por hoy, recuerda que tenemos muchos videos más en nuestro curso de estadística.

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