Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva – ejercicios resueltos

Otra clasificación de las funciones, son las funciones inyectivas, sobreyectrivas y biyectivas, las cuáles nos dan información acerca del comportamiento de las mismas.

Recuerda que en una función, siempre tenemos un conjunto de partida (dominio), un conjunto de llegada (contradominio), y un rango:

dominio-y-rango-de-funciones-1

Función inyectiva

Una función es inyectiva si cada elemento del conjunto de llegada corresponde como máximo a un elemento del conjunto de partida.

Otra definición es la siguiente: una función f: A -> B es inyectiva, si no existen 2 elementos de A (conjunto de llegada) con una misma imagen. Veamos algunos ejemplos:

Función-inyectiva-ejemplos

Para determinar si una función es inyectiva, tenemos que analizar la siguiente condición:

función-inyectiva-condición

Función sobreyectiva

Una función es sobreyectiva si cada elemento del conjunto de llegada (contradominio) corresponde por lo menos a un elemento del conjunto de partida.

Otra definición más simple es la siguiente: una función es sobreyectiva si el rango es igual al conjunto de llegada o contradominio. Veamos algunos ejemplos:

Función-sobreyectiva

Para determinar si una función es sobreyectiva tenemos que determinar el rango. Por lo general, el conjunto de llegada es dato del problema. Si el rango que hemos hallado, es igual al conjunto de llegada, entonces se trata de una función sobreyectiva.

Función biyectiva

Una función “f” es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Otra definición es la siguiente: una función es biyectiva si cada elemento del conjunto de partida tiene una imagen distinta en el conjunto de llegada, y cada elemento del conjunto de llegada corresponde a un elemento del conjunto de partida.

Guía de ejercicios

A continuación, viene una guía con muchos problemas propuestos de funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas; algunos de los cuáles resolveremos en el video, y otros quedarán para que puedas practicar en casa.

Funciones, ejercicios propuestos PDF

Video

En el siguiente video resolveremos los ejercicios de funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.

Reto

A continuación, viene un pequeño reto para que puedas practicar en casa, y luego viene la respuesta.

Respuesta:

  • Inyectiva: sí.
  • Sobreyectiva: sí.
  • Biyectiva: sí.

Y hasta llegamos por hoy. Puedes revisar algunos temas adicionales de funciones en nuestro curso de cálculo.

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25 comentarios en «Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva – ejercicios resueltos»

  1. Buenas noches

    Lo felicito por su canal y por la calidad de sus clases.

    La manera en que explica es fabuloso.

    Hoy encontré su canal, cuando accedí a ver videos de matemáticas
    discretas.

    ¿De qué país es usted?
    Porque habla un idioma español neutral y eso me recuerda a las
    traducciones de los dibujos animados del pasado en el cual lo
    empleaban.

    Un saludo desde Tegucigalpa, Honduras

    Responder
  2. Hola, me gustaría que me ayudes a resolver el siguiente ejercicio.
    En algunos países se utiliza un sistema de medición de la temperatura distinto a los grados centígrados que son los grados Farenheit. Sabiendo que 10 C 50 F y que 60 C 140 F, obtén la ecuación que nos permita traducir temperaturas de C a F.

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  3. Hola! podrían ayudarme? he intentado hacer el reto pero no me sale, me sigue dando que no es inyectiva ni sobreyectiva. Me pueden ayudar a hacerlo por favor?

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    • Hola Mari, un poco tarde la respuesta pero aquí estamos:
      Sí es inyectiva, ya que x1^3=x2^3. Por qué x1 y x2 son iguales al elevarse al cubo? Para entender esto, hay que explicar qué pasa con exponentes pares e impares: x^2 siempre tendrá un resultado positivo aunque x sea negativo o positivo porque está elevado a un exponente par, es una regla. Sin embargo, el resultado de x^3 tendrá el mismo signo que su x: si su x es negativa, su resultado será negativo; si es positiva, será positivo.
      x1 y x2 no son iguales en x1^2=x2^2, ya que x1 puede ser negativo y x2 puede ser positivo pero aún así dar el mismo resultado (-2^2=4 y 2^2=4). x1 y x2 sí son necesariamente iguales en x1^3=x2^3, porque ambos son o bien negativos ( -2 x -2 x -2 = -8), o bien positivos ( 2 x 2 x 2 = 8) para que den el mismo resultado en la igualdad mencionada.

      En el problema no nos dan conjunto de partida ni llegada, así que ambos son R (desde -infinito hasta +infinito)
      Hallamos el rango: y= x^3, por lo tanto: ∛ y= x. En este caso el rango de «y» no tiene ninguna restricción porque «y» puede ser negativo o positivo. Por ejemplo, el -8 tiene raíz cúbica=-2 y el 8 también= 2. Por lo tanto, su rango es R, el cual resulta ser el mismo que su conjunto de llegada, esto quiere decir que es sobreyectiva. Debido a que es inyectiva y sobreyectiva, es definitivamente biyectiva.

      Espero que lo que escribí sea entendible jaksja, saludos y cuídense todos!

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