Probabilidades, ejercicios resueltos

Veamos los problemas propuestos y ejercicios resueltos de probabilidades.

Probabilidad es un valor entre 0 y 1, que indica la posibilidad relativa de que ocurra un evento.

La fórmula de probabilidad es la siguiente:

fórmula de probabilidad

Mientras más se acerca el valor de la probabilidad a 0, disminuye la posibilidad de que ocurra el evento. Mientras más se acerca el valor a 1, aumenta la posibilidad de que ocurra.

Probabilidades-gráfica

0P(A) 1

La probabilidad de que ocurra un evento es 0, si es imposible que ocurra ese evento. Por otro lado, la probabilidad de que un ocurra un evento es 1, si es seguro que ocurrirá ese evento.

Ejemplo 1:

La moneda de México, tiene 2 caras: águila y sello. ¿Cuál es la probabilidad de obtener águila al lanzar una moneda?

Solución:
Primero calculamos el número total de casos posibles que se dan al lanzar la moneda. En este problema, son 2 casos posibles, se obtiene águila o se obtiene sello.

Ahora, calculamos el número de casos favorables. Si lanzamos la moneda, tenemos 1 caso de águila. Por lo tanto, la probabilidad de obtener águila sería:

problemas de probabilidad

Podemos colocar como respuesta: 0,5 o 50%.

Ejemplo 2:

¿Cuál es la probabilidad de obtener un 5 al lanzar un dado?

Solución:
Primero calculamos el número total de casos posibles que se dan al lanzar un dado. En este problema, son 6 casos posibles, ya que el dado puede arrojar 1, 2, 3, 4, 5 o 6.

Ahora, calculamos el número de casos favorables. Si lanzamos un dado, tenemos 1 caso en el que se obtiene 5. Por lo tanto, la probabilidad de obtener un 5 sería:

problemas de probabilidad

La respuesta sería: 0,1667 o 16,67%.

Ejemplo 3:

Si se lanza una moneda de México al aire dos veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener al menos 1 águila?

Solución:
Primero calculamos el número total de casos posibles. Los casos posibles del primer y segundo lanzamiento son:

  • Águila – águila.
  • Águila – sello.
  • Sello – águila.
  • Sello – sello.

En total, tenemos 4 casos posibles.

Ahora calculamos el número de casos en los cuáles se obtiene al menos 1 águila. Los casos son:

  • Águila – águila.
  • Águila – sello.
  • Sello – águila.

Es decir, tenemos 3 casos favorables. Por lo tanto, la probabilidad de obtener al menos un águila es:

problemas de probabilidad

La respuesta sería: 0,75 o 75%.

Guía de ejercicios

En la siguiente guía encontrarás muchísimos problemas de probabilidades, algunos de los cuáles, resolveremos juntos en los videos.

Probabilidades, ejercicios propuestos PDF

Nivel 1A

En este primer video, veremos un repaso de la teoría, y resolveremos algunos ejercicios sencillos:

Nivel 1B

En este video, veremos varios ejercicios clásicos de probabilidades, usando dados y monedas:

Nivel 2

En el segundo nivel, resolveremos un problema de probabilidades usando el diagrama de Venn, y otro problema usando permutaciones y combinaciones.

Nivel 3

Reto

Se lanza un dado “n” veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga al menos un 2 en los “n” lanzamientos?

Solución:

En el nivel 3, calculamos la probabilidad de que no salga ningún 2 en los «n» lanzamientos. Podemos usar la regla del complemento  para encontrar la probabilidad de que salga al menos un 2 en los «n» lanzamientos.

Definimos los sucesos A y A
  • Suceso A: no obtener ningún 2 en los «n» lanzamientos. Del video del nivel 3, sabemos que:
problemas de probabilidad
  • Suceso A : obtener un 2 o más en los «n» lanzamientos, es decir, que el 2, salga 1, 2, 3, 4, 5, … o «n» veces en los «n» lanzamientos. Calculamos esta probabilidad usando la regla del complemento:
problemas de probabilidad

15 comentarios

  1. Hola profe, puedo hacerle una consulta por una resolucion de un problema?es para justificar un inciso, sobre dos eventos si son independientes.. Quiero saber si estoy en lo correcto..

  2. No entiendo por qué es el complemento, si el complemento de «que no salga ningún dos en los n lanzamientos» debiese ser «que salga un 2 en los n lanzamientos» y el reto que se propuso es «al menos un 2 en los n lanzamientos»… como se calcula sin ocupar esa regla de complementos (ya que no me queda claro por qué la ocuparon).

    Gracias.

    1. María Rosa, se calculó (5/6)**n y son los casos posibles en donde no aparece ningún 2 en los lanzamientos, entonces eso quiere decir que los demás (o sea el complemento) eventos tienes un dos por lo menos.

  3. Tengo una pregunta:

    En un supuesto dado de 200 caras, cuanta probabilidad tengo de sacar un 1 en X intentos?

    Si no me equivoco sería:

    Suceso A: no obtener ningún 1 en los «n» lanzamientos: 199^n/200^n

    Suceso B : obtener un 1 o más en los «n» lanzamientos: 1- 199^n/200^n

    Hasta ahí todo bien, me sale que con 1 intento tengo una probabilidad de 0,5% de sacar un 1, que con 100 intentos tengo un 39,42% de sacar un 1… pero a partir de 134 intentos se me vuelve loca la formula (tanto en excel como en la calculadora)

    Un saludo y gracias de antemano!

  4. Hola profesor, me podría ayudar dándome el resultado para comparar si mi resultado esta bien? lo necesitaría lo antes posible. Muchas graciass
    Se sabe que un paciente responderá al tratamiento de una afección en particular
    con una probabilidad igual a 0,9. Si se tratan 3 pacientes en forma independiente,
    el espacio muestral asociado al experimento será el siguiente: le llamamos R a
    los pacientes que responden y R’ a los que no responden.
    a) ¿Cuántos resultados posibles existen?
    b) Realice un cuadro y asigne probabilidades.
    c) Calcular la probabilidad de que los dos primeros respondan y que el último no.
    d) Calcular la probabilidad que al menos dos respondan
    e) Calcular la probabilidad que uno solo responda.

  5. Se realizó un estudio en el último semestre de año, para ello se llegó encuestar a 500 medianas empresas, e ella, 180 exportaban palta fuerte, 125 exportaban espárragos y el resto ambos productos.

    Análisis y reflexión:

    Tomando en cuenta los datos presentados, responda a las siguientes interrogantes:
    1) Si elegimos una empresa al azar, ¿qué probabilidad tiene de exportar ambos productos?
    2) ¿Cuál es la probabilidad que una empresa elegida al azar exporte espárragos o palta fuerte?
    3) Tomando en cuenta los datos presentados, ¿qué probabilidad tendrá una empresa elegida al azar que no exporte ni palta fuerte ni espárragos?

  6. Se desea estudiar la situación de que los alumnos de una escuela lleguen tarde a clases. Después de una número considerable de observaciones, se determino que la probabilidad de que un alumno llegue tarde es de 0.4; asimismo, el comportamiento de los alumnos es independiente entre si. En cinco pruebas diferentes. ¿ Cuál es la distribución de probabilidad de que 0, 1, 2, 3 alumnos lleguen tarde simultáneamente?

  7. se introducen en una caja 4 fichas de color rojo, 5 de color verde, 1 de color azul, y 3 de color blaco. al sacar 2 fichas al azar. que color salen primero?
    Necesito respuesta a eso por favor.

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