Probabilidades, ejercicios resueltos

Veamos los problemas propuestos y ejercicios resueltos de probabilidades.

Probabilidad es un valor entre 0 y 1, que indica la posibilidad relativa de que ocurra un evento.

La fórmula de probabilidad es la siguiente:

\(P(A)=\frac { número\quad de\quad casos\quad favorables\quad de\quad A }{ número\quad total\quad de\quad casos\quad posibles } \)

Mientras más se acerca el valor de la probabilidad a 0, disminuye la posibilidad de que ocurra el evento. Mientras más se acerca el valor a 1, aumenta la posibilidad de que ocurra.

Probabilidades-gráfica

\(0\le P(A)\le 1\)

La probabilidad de que ocurra un evento es 0, si es imposible que ocurra ese evento. Por otro lado, la probabilidad de que un ocurra un evento es 1, si es seguro que ocurrirá ese evento.

Ejemplo 1:

La moneda de México, tiene 2 caras: águila y sello. ¿Cuál es la probabilidad de obtener águila al lanzar una moneda?

Solución:
Primero calculamos el número total de casos posibles que se dan al lanzar la moneda. En este problema, son 2 casos posibles, se obtiene águila o se obtiene sello.

Ahora, calculamos el número de casos favorables. Si lanzamos la moneda, tenemos 1 caso de águila. Por lo tanto, la probabilidad de obtener águila sería:

\(P(cara)=\frac { número\quad de\quad casos\quad favorables\quad de\quad águila }{ número\quad total\quad de\quad casos\quad posibles } =\frac { 1 }{ 2 } =0,5=50\%\)

Podemos colocar como respuesta: 0,5 o 50%.

Ejemplo 2:

¿Cuál es la probabilidad de obtener un 5 al lanzar un dado?

Solución:
Primero calculamos el número total de casos posibles que se dan al lanzar un dado. En este problema, son 6 casos posibles, ya que el dado puede arrojar 1, 2, 3, 4, 5 o 6.

Ahora, calculamos el número de casos favorables. Si lanzamos un dado, tenemos 1 caso en el que se obtiene 5. Por lo tanto, la probabilidad de obtener un 5 sería:

\(P(5)=\frac { número\quad de\quad casos\quad favorables\quad de\quad 5 }{ número\quad total\quad de\quad casos\quad posibles } =\frac { 1 }{ 6 } =0,1667=16,67\%\)

La respuesta sería: 0,1667 o 16,67%.

Ejemplo 3:

Si se lanza una moneda de México al aire dos veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener al menos 1 águila?

Solución:
Primero calculamos el número total de casos posibles. Los casos posibles del primer y segundo lanzamiento son:

  • Águila – águila.
  • Águila – sello.
  • Sello – águila.
  • Sello – sello.

En total, tenemos 4 casos posibles.

Ahora calculamos el número de casos en los cuáles se obtiene al menos 1 águila. Los casos son:

  • Águila – águila.
  • Águila – sello.
  • Sello – águila.

Es decir, tenemos 3 casos favorables. Por lo tanto, la probabilidad de obtener al menos un águila es:

\(P(al\quad menos\quad 1\quad águila)=\frac { 3 }{ 4 } =75\%\)

La respuesta sería: 0,75 o 75%.

Guía de ejercicios

En la siguiente guía encontrarás muchísimos problemas de probabilidades, algunos de los cuáles, resolveremos juntos en los videos.

Probabilidades, ejercicios propuestos PDF

Nivel 1A

En este primer video, veremos un repaso de la teoría, y resolveremos algunos ejercicios sencillos:

Nivel 1B

En este video, veremos varios ejercicios clásicos de probabilidades, usando dados y monedas:

Nivel 2

En el segundo nivel, resolveremos un problema de probabilidades usando el diagrama de Venn, y otro problema usando permutaciones y combinaciones.

Nivel 3

Reto

Se lanza un dado “n” veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga al menos un 2 en los “n” lanzamientos?

Solución:

En el nivel 3, calculamos la probabilidad de que no salga ningún 2 en los “n” lanzamientos. Podemos usar la regla del complemento  para encontrar la probabilidad de que salga al menos un 2 en los “n” lanzamientos.

Definimos los sucesos \(A\) y \(\overline { A } \) :

  • Suceso \(A\): no obtener ningún 2 en los “n” lanzamientos. Del video del nivel 3, sabemos que: \(P(A)=\frac { { 5 }^{ n } }{ { 6 }^{ n } }  \)
  • Suceso \(\overline { A } \) : obtener un 2 o más en los “n” lanzamientos, es decir, que el 2, salga 1, 2, 3, 4, 5, … o “n” veces en los “n” lanzamientos. Calculamos esta probabilidad usando la regla del complemento:

\(P(\overline { A } )=1-P(A) \)

\(P(\overline { A } )=1-\frac { { 5 }^{ n } }{ { 6 }^{ n } } \)

 

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