Regla de la multiplicación o producto de probabilidades

La regla de la multiplicación o regla del producto, permite encontrar la probabilidad de que ocurra el evento A y el evento B al mismo tiempo (probabilidad conjunta). Esta regla depende de si los eventos son dependientes o independientes.

Eventos dependientes

Dos eventos A y B son dependientes, si la ocurrencia de uno de ellos afecta la ocurrencia del otro. Para eventos dependientes, la regla de la multiplicación establece que:

regla de la multiplicación o producto de probabilidades

Ejemplo 1:

Una caja contiene 2 canicas azules y 3 rojas. Si se extraen dos canicas al azar sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean azules?

Solución:

Dado que las canicas serán extraídas de la misma caja, y que las canicas que se extraigan, no serán devueltas a la caja (no hay reposición), entonces, se trata de eventos dependientes.

  • Evento A: obtener una canica azul en la primera extracción.
  • Evento B: obtener una canica azul en la segunda extracción.

Por la regla de la multiplicación, sabemos que:

regla del producto de probabilidades

Eventos independientes

Dos eventos A y B son independientes, si la ocurrencia de uno de ellos no afecta la ocurrencia del otro, es decir, cuando los eventos A y B no están relacionados. Para eventos independientes, la regla de la multiplicación establece que:

Esto se debe, a que en los eventos independientes, la ocurrencia de un evento, no afecta a la ocurrencia del otro:

regla de la multiplicación ejercicios resueltos

Ejemplo 2:

En un colegio, la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar hable inglés es de 0,20; mientras que la probabilidad de que un alumno juegue fútbol es de 0,80.

El hecho de que un alumno hable inglés, no afecta en nada que juegue fútbol; por lo tanto, se trata de eventos independientes.

  • Evento A: que el alumno hable inglés. P(A) = 0,20.
  • Evento B: que el alumno juegue fútbol. P(B) = 0,80.

Usamos la regla de la multiplicación para eventos independientes:

regla de la multiplicación o producto de probabilidades

Ejemplo 3:

Sabiendo que P(A) = 0,70; P(B) = 0,50; y además, P(A∩B) = 0,40; determinar si son eventos dependientes o independientes.

Solución:

En los eventos independientes, se cumple que:

regla del producto de probabilidades

En este caso:

  • P(A∩B) = 0,40.
  • P(A) × P(B) = 0,70 × 0,50 = 0,35.

Podemos ver que 0,40 es diferente de 0,35; entonces:

regla del producto multiplicación de probabilidad

Podemos concluir que no son eventos independientes, es decir, son eventos dependientes.

Ejemplo 4:

Un sistema consta de 4 componentes como se ilustra en la figura.

regla de la multiplicación

Todo el sistema funcionará el subsistema 1-2 funciona o si el subsistema 3-4 funciona (porque los dos subsistemas están conectados en paralelo). Como los dos componentes de cada subsistema están conectados en serie, un subsistema funcionará sólo si ambos componentes de cada subsistema funcionan. Si los componentes funcionan o fallan de modo independiente uno de otro y si cada uno funciona con probabilidad de 0,85, ¿cuál es la probabilidad de que todo el sistema funcione (coeficiente de confiabilidad del sistema)?

Solución:

Imagina que por este circuito circula agua, esta puede ir de A hasta B por el camino de arriba 1-2 o por el camino de abajo 3-4. No necesita que los 2 caminos funcionen a la vez, con que uno funcione, será suficiente para que llegue el agua hasta el final.

Para que el sistema funcione, tiene que funcionar el subsistema 1-2 o el subsistema 3-4. Entonces, la probabilidad de que funcione el sistema será:

A continuación, realizaré varios cálculos empleando la regla de la multiplicación para eventos independientes:

Calculamos primero la probabilidad de que funcionen 1 y 2:

Luego la probabilidad de que funcionen 3 y 4:

Además, nos servirá la probabilidad de que funcione el subsistema de arriba (1 y 2) y el subsistema de abajo (3 y 4) al mismo tiempo.

Nos será de utilidad la regla de la suma:

Nos será de utilidad la regla de la suma:

Para que el sistema funcione, tiene que funcionar el subsistema 1-2 o el subsistema 3-4.

La probabilidad de que funcione el sistema es de 0,923.

Guía de ejercicios

A continuación, viene una guía con muchos ejercicios de probabilidades en PDF. Resolveremos algunos problemas de regla de la multiplicación en el video:

Probabilidades, ejercicios propuestos PDF

Video

Ahora viene el video que hemos preparado con ejercicios de la regla de la multiplicación.

Hasta aquí llegamos por hoy, recuerda que tenemos muchos otros temas de probabilidades en nuestro curso de estadística.

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