Regla de la multiplicación o producto de probabilidades

Veamos los ejercicios resueltos de la regla del producto o multiplicación para eventos dependientes y eventos independientes.

La regla de la multiplicación o regla del producto, permite encontrar la probabilidad de que ocurra el evento A y el evento B al mismo tiempo (probabilidad conjunta). Esta regla depende de si los eventos son dependientes o independientes.

Eventos dependientes

Dos eventos A y B son dependientes, si la ocurrencia de uno de ellos afecta la ocurrencia del otro. Para eventos dependientes, la regla de la multiplicación establece que:

\(P(A∩B)=P(A) × P(B|A) \)

\(P(A∩B)=P(B) × P(A|B) \)

Ejemplo 1:

Una caja contiene 2 canicas azules y 3 rojas. Si se extraen dos canicas al azar sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean azules?

Solución:

Dado que las canicas serán extraídas de la misma caja, y que las canicas que se extraigan, no serán devueltas a la caja (no hay reposición), entonces, se trata de eventos dependientes.

  • Evento A: obtener una canica azul en la primera extracción.
  • Evento B: obtener una canica azul en la segunda extracción.

Por la regla de la multiplicación, sabemos que:

\(P(A∩B)=P(A) × P(B|A) \)

\(P(A∩B)=\frac { 2 }{ 5 } .\frac { 1 }{ 4 } =\frac { 2 }{ 20 } =0,1\quad =\quad 10\%\)

Eventos independientes

Dos eventos A y B son independientes, si la ocurrencia de uno de ellos no afecta la ocurrencia del otro, es decir, cuando los eventos A y B no están relacionados. Para eventos independientes, la regla de la multiplicación establece que:

\(P(A∩B)=P(A) × P(B) \)

Esto se debe, a que en los eventos independientes, la ocurrencia de un evento, no afecta a la ocurrencia del otro:

\(P(A|B)=P(A) \)            ∧          \(P(B|A)=P(B) \)

Ejemplo 2:

En un colegio, la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar hable inglés es de 0,20; mientras que la probabilidad de que un alumno juegue fútbol es de 0,80.

El hecho de que un alumno hable inglés, no afecta en nada que juegue fútbol; por lo tanto, se trata de eventos independientes.

  • Evento A: que el alumno hable inglés. P(A) = 0,20
  • Evento B: que el alumno juegue fútbol. P(B) = 0,80

Usamos la regla de la multiplicación para eventos independientes:

\(P(A∩B)=P(A) × P(B) \)

\(P(A∩B)=0,20×0,80\quad =\quad 0,16 \quad =\quad16\%\)

Ejemplo 3:

Sabiendo que P(A) = 0,70; P(B) = 0,50; y además, P(A∩B)=0,40; determinar si son eventos dependientes o independientes.

Solución:

En los eventos independientes, se cumple que:

\(P(A∩B)=P(A) × P(B) \)

En este caso:

  • \(P(A∩B)=0,40\)
  • \(P(A)×P(B)=0,70×0,50=0,35\)

Podemos ver que 0,40 es diferente de 0,35, entonces:

\(P(A∩B)\neq P(A)×P(B)\)

Podemos concluir que no son eventos independientes, es decir, son eventos dependientes.

Guía de ejercicios

A continuación, viene una guía con muchos ejercicios de probabilidades en PDF. Resolveremos algunos problemas de regla de la multiplicación en el video:

Probabilidades, ejercicios propuestos PDF

Video

Ahora viene el video que hemos preparado con ejercicios de la regla de la multiplicación.

Hasta aquí llegamos por hoy, recuerda que tenemos muchos otros temas de probabilidades en nuestro curso de estadística.

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