Varianza y desviación estándar, ejemplos y ejercicios

Veamos la varianza y la desviación estándar de la muestra y de la población, con ejercicios, ejemplos y veamos también las fórmulas.

La varianza y la desviación estándar son medidas de dispersión o variabilidad, es decir, indican la dispersión o separación de un conjunto de datos. Hay que tener en cuenta que las fórmulas de la varianza y la desviación estándar son diferentes para una muestra que para una población.

A continuación, presentamos el resumen de fórmulas, las cuales analizaremos líneas abajo:

fórmulas de varianza y desviación estándar

 

Varianza de la población (σ2)

La varianza se define como la media aritmética de los cuadrados de las diferencias de los datos con su media aritmética. 

fórmula de la varianza poblacional

Desviación estándar de la población (σ)

La desviación estándar es la raíz cuadrada positiva de la varianza.

desviación estándar de la población

Te recomendamos calcular primero la varianza de la población y luego sacar su raíz cuadrada para obtener la desviación estándar.

Ten en cuenta que, si tienes una serie de valores de una población y necesitas calcular su varianza y su desviación estándar, deberás calcular primero la media poblacional µ con la siguiente fórmula:

fórmula de la media poblacional

Varianza de la muestra (s2)

La fórmula de la varianza de la muestra es diferente a la de varianza de la población.

fórmula de la varianza de la muestra

Desviación estándar de la muestra (s)

Recuerda que la desviación estándar es la raíz cuadrada positiva de la varianza.

fórmula de la desviación estándar de la muestra

Te recomendamos calcular primero la varianza de la muestra y luego sacar su raíz cuadrada para obtener la desviación estándar.

Ten en cuenta que, si tienes una serie de valores de una muestra y necesitas calcular su varianza y su desviación estándar, deberás calcular primero la media poblacional x̄ con la siguiente fórmula:

fórmula de la media de la muestra

En los ejercicios, se siguen los siguientes pasos:

  1. Se calcula la media.
  2. Se calcula la varianza.
  3. Se calcula la desviación estándar, que es la raíz cuadrada positiva de la varianza.

Ejemplo 1:

Calcular la varianza y la desviación estándar de los siguientes datos: 2, 4, 6 y 8 sabiendo que corresponden a una población.

Solución:
Nos indican que estos datos forman una población, por lo tanto, usaremos las fórmulas de varianza y desviación estándar para la población, teniendo en cuenta que tenemos 4 datos, es decir, N = 4.

Empezamos calculando la media poblacional:

ejercicios de varianza y desviación estándar

Ahora calculamos la varianza poblacional:

ejercicios de varianza y desviación estándar

El valor de la varianza poblacional, es de 5.

Ahora calculamos la desviación estándar, teniendo en cuenta que es la raíz cuadrada de la varianza.

ejercicios de varianza y desviación estándar

Ejemplo 2:

Calcular la varianza y la desviación estándar de los siguientes datos: 1, 3, 5, 7 y 9 sabiendo que corresponden a una muestra

Solución:
Nos indican que estos datos forman una muestra, por lo tanto, usaremos las fórmulas de varianza y desviación estándar para la muestra, teniendo en cuenta que tenemos 5 datos, es decir, n = 5.

Empezamos calculando la media de la muestra:

ejercicios de varianza y desviación estándar

Ahora calculamos la varianza de la muestra:

ejercicios de varianza y desviación estándar

El valor de la varianza poblacional, es de 10.

Ahora calculamos la desviación estándar, teniendo en cuenta que es la raíz cuadrada de la varianza.

ejercicios de varianza y desviación estándar

Ejemplo 3:

Calcular la varianza y la desviación estándar de los siguientes datos: 10, 12, 13, 16, 9, 8, 12, 8, 6, 16 sabiendo que corresponden a una población.

Solución:

Empezaremos calculando la media y la varianza usando las fórmulas de la población.

En este caso, como tenemos muchos datos, recurriremos a una tabla para mantener el orden. Colocaremos los valores de los elementos de la población (xi) y sumaremos los valores.

ejercicios-de-varianza-y-desviación-estándar-111

Teniendo en cuenta que tenemos 10 datos (N = 10), calculamos la media:

ejercicios de varianza y desviación estándar

Con el valor de la media, vamos en busca de la varianza poblacional:

ejercicios-de-varianza-y-desviación-estándar-3

Agregamos 2 columnas más a nuestra tabla para llegar a la forma de la varianza:

ejercicios de varianza y desviación estándar

Reemplazamos los valores en la fórmula:

ejercicios de varianza y desviación estándar

La varianza tiene un valor de 10,4.

Finalmente calculamos la desviación estándar:

ejercicios de varianza y desviación estándar

La desviación estándar tiene un valor de 3,225.

Guía de ejercicios

A continuación, encontrarás la guía de ejercicios de medidas de dispersión. Resolveremos los ejercicios de varianza y desviación estándar en los videos. 

Varianza y desviación estándar, ejercicios propuestos en PDF.

Video 1

En el siguiente video, veremos una explicación detallada sobre la varianza y la desviación estándar, además, resolveremos varios ejercicios. 

 

Video 2

En el segundo video, veremos un ejercicio de varianza y desviación estándar para la muestra:

Video 3

En este problema, vamos a trabajar con más datos, por ello, emplearemos una tabla para encontrar el valor de la varianza y la desviación estándar. 

Hasta aquí llegamos en este clase, pero recuerda que tenemos más clases de varianza y desviación estándar.

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